e (จำนวนของออยเลอร์) คืออะไร?
e เป็นจำนวนหนึ่งเดียวที่ฟังก์ชัน eˣ เป็นอนุพันธ์ของตัวมันเอง เริ่มต้นด้วยปริมาณใด ๆ และปล่อยให้มันเติบโตอย่างต่อเนื่องที่ 100% ต่อปี หลังจากผ่านไปหนึ่งปีพอดี คุณจะมีค่าเป็น e เท่าของที่คุณเริ่มต้น ไม่มีฐานอื่นใดที่มีคุณสมบัติอ้างอิงตัวเองเช่นนี้
เมื่อ n เพิ่มขึ้น ลำดับจะเข้าใกล้ e จากด้านล่าง โดยลู่เข้าสู่ 2.71828182845904…
| n | (1 + 1/n)ⁿ | distance to e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
การตีความแบบดอกเบี้ยทบต้น: หากธนาคารจ่ายดอกเบี้ย 100% ต่อปีแต่ทบต้น n ครั้งต่อปี ยอดเงินของคุณจะเติบโตด้วย (1 + 1/n)ⁿ การทบต้นรายเดือนให้ 2.613 การทบต้นทุกวินาทีให้ 2.718 การทบต้นแบบต่อเนื่องให้ค่า e พอดี
At x=1, the height of the curve is e ≈ 2.718 and the slope of the tangent is also e. No other base b^x has this property.
Jacob Bernoulli ค้นพบ e ในปี 1683 ขณะศึกษาดอกเบี้ยทบต้น ออยเลอร์ตั้งชื่อมันว่า e ในปี 1731 มันเป็นจำนวนอตรรกยะ (Euler, 1737) และจำนวนอดิศัย (Hermite, 1873) การกระจายทศนิยมของมัน 2.71828182845904523536… ไม่เคยซ้ำ
Starting with $1 at 100% annual interest: compounding monthly gives $2.613, daily $2.714, every second $2.718. The limit as n ไปยัง ∞ is exactly e.
e (จำนวนของออยเลอร์) ประมาณ 2.71828182845904523536 เป็นจำนวนหนึ่งเดียวที่ฟังก์ชัน e^x เท่ากับอนุพันธ์ของตัวมันเองที่ทุกจุด Jacob Bernoulli ค้นพบมันในปี 1683 ขณะศึกษาดอกเบี้ยทบต้น Leonhard Euler ตั้งชื่อมันว่า e ราวปี 1731 e เป็นจำนวนอตรรกยะ (Euler, 1737) และจำนวนอดิศัย (Hermite, 1873) มันปรากฏในการเติบโตและการสลายแบบต่อเนื่อง, ลอการิทึมธรรมชาติ, การแจกแจงปกติ, ดอกเบี้ยทบต้น, การสลายตัวกัมมันตรังสี, และเอกลักษณ์ของออยเลอร์ e^(i*pi) + 1 = 0
จำนวนของออยเลอร์ e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the อนุกรมเทย์เลอร์.
FAQ
-
ใครค้นพบ e และเมื่อไหร่?
Jacob Bernoulli เป็นคนแรกที่พบค่าคงที่นี้ในปี 1683 ขณะศึกษาเรื่องดอกเบี้ยทบต้น ส่วน Leonhard Euler เริ่มใช้ตัวอักษร e ราวปี 1731 และเป็นคนแรกที่ตีพิมพ์ผลงานอย่างเป็นระบบเกี่ยวกับคุณสมบัติของมัน -
ทำไมค่าคงที่นี้ถูกเรียกว่า e?
Euler เป็นคนแรกที่ใช้ตัวอักษร e ในเอกสารที่ไม่ได้ตีพิมพ์ราวปี 1728 มีการถกเถียงกันว่ามันย่อมาจาก Euler หรือ exponential การตั้งชื่อนี้คงอยู่ผ่านอิทธิพลของผลงานที่ตีพิมพ์อย่างกว้างขวางของเขา -
e ถูกพิสูจน์ว่าเป็นจำนวนอดิศัยเมื่อไหร่?
Charles Hermite พิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอดิศัยในปี 1873 ทำให้มันเป็นจำนวนแรกที่ถูกพิสูจน์ว่าเป็นจำนวนอดิศัย สิ่งนี้เป็นแรงบันดาลใจให้ Lindemann พิสูจน์ว่า \u03C0 เป็นจำนวนอดิศัยในอีกสิบปีต่อมาโดยใช้วิธีการที่คล้ายกัน -
e ปรากฏในการเงินอย่างไร?
การทบต้นแบบต่อเนื่องใช้ e: หากคุณลงทุนเงินต้น P ในอัตราดอกเบี้ยต่อปี r เป็นเวลา t ปี มูลค่าจะเป็น P คูณ e^(rt) Jacob Bernoulli ค้นพบค่าคงที่นี้ด้วยวิธีนี้พอดี - ศึกษาสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อดอกเบี้ยถูกทบต้นอย่างไม่มีที่สิ้นสุดต่อปี -
ลอการิทึมธรรมชาติคืออะไร และทำไมมันจึงเป็นธรรมชาติ?
ลอการิทึมธรรมชาติ (ln) คือลอการิทึมฐาน e มันถูกเรียกว่าธรรมชาติเพราะมันเป็นปริพันธ์ย้อนของ 1/x ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ไม่ตรงไปตรงมาที่เรียบง่ายที่สุด คำนี้ถูกนำเสนอโดย Nicholas Mercator ในผลงาน Logarithmotechnia ปี 1668
Pi
ท่องจำพาย ค่า e และค่าคงตัวคณิตศาสตร์ 38 ตัว ด้วยวิธีเส้นทางบนแป้นตัวเลข
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์