ln 2 (ลอการิทึมธรรมชาติของ 2) คืออะไร?
ln 2 คือลอการิทึมธรรมชาติของ 2: กำลังที่ต้องยก e ขึ้นเพื่อให้ได้ 2 ในเชิงเรขาคณิต มันเท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้ง y = 1/x จาก x = 1 ถึง x = 2 ในเชิงตัวเลข 2.71828… ยกกำลัง 0.69314… เท่ากับ 2 พอดี
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0.6931. This is the definition of natural log: ln(a) is the area under 1/x from 1 to a.
ln 2 คือค่าคงตัวครึ่งชีวิต ปริมาณใด ๆ ที่ลดลงครึ่งหนึ่งที่อัตราคงที่สอดคล้องกับ N(t) = N₀ · e^(-λt) ครึ่งชีวิตคือ t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ สิ่งนี้ใช้ได้กับการสลายตัวกัมมันตรังสี การกำจัดยาออกจากกระแสเลือด การคายประจุของตัวเก็บประจุ และการเย็นตัวของกาแฟ
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... converges to ln 2 ≈ 0.6931, oscillating around the limit. Convergence is slow: every other term overshoots.
ln 2 เป็นจำนวนอดิศัย (Lindemann-Weierstrass, 1885) ในทฤษฎีสารสนเทศ มันแปลงระหว่างแนตและบิต: 1 บิต = ln(2) แนต ≈ 0.693 แนต อนุกรม 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ ลู่เข้าสู่ ln 2 พอดี คำนวณได้: 0.69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0.693 is the decay constant. After 1 half-life: 50% remains. After 10: 0.1%.
ลอการิทึมธรรมชาติของ 2 ประมาณ 0.69314718055994530941 มันเป็นจำนวนอตรรกยะและจำนวนอดิศัย Ln 2 เท่ากับพื้นที่ใต้ไฮเพอร์โบลา y = 1/x จาก x = 1 ถึง x = 2 มันควบคุมการเพิ่มเป็นสองเท่าและการลดลงครึ่งหนึ่งทุกครั้ง: ปริมาณที่เติบโตในอัตรา r จะเพิ่มเป็นสองเท่าในเวลา ln(2)/r ในทฤษฎีสารสนเทศ ข้อมูล 1 บิตเท่ากับ ln 2 แนต ในการคำนวณ จำนวนหลักฐานสองที่ต้องใช้แทนค่า n ค่าคือ log₂(n) = ln(n)/ln(2)
ลอการิทึมธรรมชาติของ 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the อนุกรมฮาร์มอนิกสลับ.
FAQ
-
ใครคำนวณ ln 2 เป็นคนแรก?
Nicholas Mercator ตีพิมพ์อนุกรมสลับเครื่องหมาย 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln 2 ในผลงาน Logarithmotechnia ปี 1668 John Napier ได้คิดค้นลอการิทึมในปี 1614 และ Euler ทำให้ความเชื่อมโยงกับฐาน e ชัดเจนขึ้นในศตวรรษที่ 18 -
กฎของ 70 คืออะไร?
หาร 70 ด้วยอัตราการเติบโตร้อยละเพื่อประมาณเวลาในการเพิ่มเป็นสองเท่า ที่อัตราการเติบโต 7% ต่อปี จะใช้เวลาประมาณ 70/7 = 10 ปี ในการเพิ่มเป็นสองเท่า สิ่งนี้ใช้ได้เพราะ ln 2 มีค่าประมาณ 0.693 ดังนั้นเวลาที่แท้จริงในการเพิ่มเป็นสองเท่าคือ ln 2 / r และ 69.3 ปัดขึ้นเป็น 70 ได้สะดวก -
ทำไม ln 2 จึงปรากฏในสูตรครึ่งชีวิตทุกสูตร?
ปริมาณที่สลายตัวลงครึ่งหนึ่งเป็นไปตาม e^(-rate x time) = 1/2 การแก้สมการหาครึ่งชีวิตจะได้ t = ln 2 / rate นี่คือเหตุผลที่ครึ่งชีวิตของกัมมันตรังสี อัตราการขับยา และค่าคงที่เวลาวงจร RC ทุกตัวมี ln 2 -
ln 2 เป็นจำนวนอดิศัยหรือไม่?
ใช่ ทฤษฎีบทของ Lindemann-Weierstrass ระบุว่าถ้า a เป็นจำนวนพีชคณิตที่ไม่เท่ากับศูนย์ แล้ว e^a จะเป็นจำนวนอดิศัย เนื่องจาก e^(ln 2) = 2 เป็นจำนวนพีชคณิต ln 2 จึงไม่สามารถเป็นจำนวนพีชคณิตได้ ดังนั้นมันจึงต้องเป็นจำนวนอดิศัย -
ln 2 เชื่อมโยงกับทฤษฎีข้อมูลอย่างไร?
บทความทฤษฎีข้อมูลของ Claude Shannon ในปี 1948 ได้กำหนดว่าตัวเลขไบนารีหนึ่งหน่วย (บิต) มีเอนโทรปีเท่ากับ ln 2 แนท แนทเป็นหน่วยธรรมชาติของข้อมูล และ ln 2 เป็นตัวแปลงระหว่างบิตกับแนท
Pi
ท่องจำพาย ค่า e และค่าคงตัวคณิตศาสตร์ 38 ตัว ด้วยวิธีเส้นทางบนแป้นตัวเลข
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์