ln 2（2の自然対数）とは？
ln 2 は 2 の自然対数であり、e をどの冪まで上げれば 2 になるかを表す数である。幾何学的には、x = 1 から x = 2 までの曲線 y = 1/x の下の面積に等しい。数値的には、2.71828… を 0.69314… 乗すると正確に 2 になる。
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0.6931。これが自然対数の定義であり、ln(a) は 1 から a までの 1/x の下の面積である。
ln 2 は半減期の定数である。一定の割合で半減する量は N(t) = N₀ · e^(-λt) を満たす。半減期は t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ となる。これは放射性崩壊、血中からの薬物の消失、コンデンサーの放電、コーヒーの冷却などに現れる。
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … は ln 2 ≈ 0.6931 に収束し、その極限のまわりを上下に振動する。収束は遅く、1 項おきに極限を行き過ぎる。
ln 2 は超越数である（リンダマン＝ワイエルシュトラス、1885年）。情報理論ではナットとビットの変換に現れ、1 ビット = ln(2) ナット ≈ 0.693 ナットである。級数 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ はちょうど ln 2 に収束する。値の冒頭は 0.69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½)。ln 2 ≈ 0.693 は崩壊定数である。半減期 1 回で 50% が残り、10 回で 0.1% だけが残る。
2 の自然対数は約 0.69314718055994530941 である。無理数であり超越数でもある。ln 2 は、双曲線 y = 1/x の x = 1 から x = 2 までの下の面積に等しい。倍化と半減の法則を支配し、成長率 r の量が 2 倍になる時間は ln(2)/r である。情報理論では 1 ビットの情報量は ln 2 ナットに等しい。計算機科学では、n 個の値を表すのに必要な2進桁数は log₂(n) = ln(n)/ln(2) で与えられる。
Natural Log of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the alternating harmonic series.
FAQ
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ln 2 を最初に計算したのは誰ですか？
ニコラス・メルカトルが1668年の著作『Logarithmotechnia』で交代級数 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... = ln 2 を発表しました。ジョン・ネイピアが1614年に対数を発明し、オイラーが18世紀に底 e との関係を明確にしました。 -
70の法則とは何ですか？
パーセント成長率で70を割ると倍増時間の概算が得られます。年率7%の成長では、倍増に約70/7 = 10年かかります。ln 2 ≈ 0.693 なので正確な倍増時間は ln 2 / r であり、69.3を切り上げで70としています。 -
なぜ ln 2 はすべての半減期の公式に現れるのですか？
半分に減衰する量は e^(−rate × time) = 1/2 を満たします。半減期を求めると t = ln 2 / rate となります。これが、すべての放射性半減期、薬物のクリアランス率、RC回路の時定数に ln 2 が含まれる理由です。 -
ln 2 は超越数ですか？
はい。リンデマン・ワイエルシュトラスの定理により、a が 0 でない代数的数であれば e^a は超越数です。e^(ln 2) = 2 は代数的数なので、ln 2 自体が代数的数であることはできず、したがって超越数です。 -
ln 2 は情報理論とどうつながりますか？
クロード・シャノンの1948年の情報理論の論文で、二進数の1桁（ビット）が正確に ln 2 ナットのエントロピーを持つことが示されました。ナットは情報の自然単位であり、ln 2 はビットとナットの変換係数です。