Wat is ln 2, de natuurlijke logaritme van 2?
ln 2 is de natuurlijke logaritme van 2, dus de macht waartoe e verheven moet worden om 2 te geven. Meetkundig is ln 2 de oppervlakte onder de kromme y = 1/x van x = 1 tot x = 2. Numeriek geldt: 2,71828… tot de macht 0,69314… is precies 2.
∫₁² 1/x dx = ln(2) - ln(1) = ln 2 ≈ 0,6931. Zo wordt de natuurlijke logaritme gedefinieerd: ln(a) is de oppervlakte onder 1/x van 1 tot a.
ln 2 is de halveringsconstante. Elke hoeveelheid die met een vaste snelheid halveert, voldoet aan N(t) = N₀ · e^(-λt). De halveringstijd is dan t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0,693/λ. Dat geldt voor radioactief verval, de afbraak van medicijnen in het bloed, het ontladen van een condensator en het afkoelen van koffie.
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... convergeert naar ln 2 ≈ 0,6931 en oscilleert rond de limiet. De convergentie is langzaam; elke tweede term schiet eroverheen.
ln 2 is transcendentaal, volgens de stelling van Lindemann-Weierstrass uit 1885. In de informatietheorie zet het om tussen nats en bits: 1 bit = ln(2) nats ≈ 0,693 nats. De alternerende reeks 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ convergeert exact naar ln 2. Uitgerekend is dat 0,69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0,693 is de vervalconstante. Na 1 halveringstijd blijft 50 procent over, na 10 nog maar 0,1 procent.
De natuurlijke logaritme van 2 is ongeveer 0,69314718055994530941. Ze is irrationaal en transcendentaal. ln 2 is de oppervlakte onder de hyperbool y = 1/x van x = 1 tot x = 2. Ze beheerst elke verdubbeling en elke halvering: een grootheid die met snelheid r groeit, verdubbelt in tijd ln(2)/r. In de informatietheorie komt 1 bit informatie exact overeen met ln 2 nats. In de informatica geldt voor het aantal binaire cijfers dat je nodig hebt om n waarden weer te geven: log₂(n) = ln(n)/ln(2).
Natural Log of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the alternating harmonic series.
FAQ
-
Wie berekende als eerste ln 2?
Nicholas Mercator publiceerde de alternerende reeks 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ... = ln 2 in zijn werk Logarithmotechnia uit 1668. John Napier had in 1614 logaritmen uitgevonden, en Euler verduidelijkte in de 18e eeuw het verband met grondtal e. -
Wat is de 70-regel?
Deel 70 door een procentueel groeipercentage om de verdubbelingstijd te schatten. Bij 7% jaarlijkse groei duurt het verdubbelen ongeveer 70/7 = 10 jaar. Dit werkt omdat ln 2 ongeveer 0,693 is, dus de exacte verdubbelingstijd is ln 2 / r, en 69,3 wordt handig afgerond naar 70. -
Waarom komt ln 2 voor in elke halveringstijdformule?
Een hoeveelheid die halveert voldoet aan e^(–snelheid × tijd) = 1/2. De halveringstijd oplossen geeft t = ln 2 / snelheid. Daarom bevat elke radioactieve halveringstijd, geneesmiddelklaring en RC-tijdconstante ln 2. -
Is ln 2 transcendent?
Ja. De stelling van Lindemann–Weierstrass impliceert dat als a een niet-nul algeïsch getal is, e^a transcendent is. Aangezien e^(ln 2) = 2 algeïsch is, kan ln 2 zelf niet algeïsch zijn – het moet dus transcendent zijn. -
Hoe hangt ln 2 samen met informatietheorie?
Claude Shannons informatietheorie-artikel uit 1948 stelde vast dat één binair cijfer (bit) precies ln 2 nats aan entropie bevat. De nat is de natuurlijke eenheid van informatie, en ln 2 is de omrekeningsfactor tussen bits en nats.
Pi
Memoriseer pi, e en 38 wiskundige constanten met de cijfertoetsenbordmethode
Nu spelen - gratisGeen account nodig. Werkt op elk apparaat.