ln 2 (2 का प्राकृतिक लघुगणक) क्या है?
ln 2, 2 का प्राकृतिक लघुगणक है: वह घात जिससे e को उठाने पर 2 मिलता है। ज्यामितीय रूप से यह x = 1 से x = 2 तक वक्र y = 1/x के नीचे का क्षेत्रफल है। संख्यात्मक रूप से, 2.71828… को 0.69314… घात देने पर ठीक 2 मिलता है।
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0.6931. This is the definition of natural log: ln(a) is the area under 1/x from 1 to a.
ln 2 अर्ध-आयु नियतांक है। कोई भी राशि जो किसी स्थिर दर से आधी होती है, N(t) = N₀ · e^(-λt) को संतुष्ट करती है। उसकी अर्ध-आयु t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ होती है। यह रेडियोधर्मी क्षय, रक्तधारा से दवा के साफ़ होने, कैपेसिटर के discharge और कॉफी के ठंडा होने पर लागू होता है।
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... converges to ln 2 ≈ 0.6931, oscillating around the limit. Convergence is slow: every other term overshoots.
ln 2 पारातीत है (Lindemann-Weierstrass, 1885)। सूचना सिद्धांत में यह nats और bits के बीच रूपांतरण करता है: 1 bit = ln(2) nats ≈ 0.693 nats. श्रेणी 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ ठीक ln 2 पर अभिसरित होती है। निकाला गया मान: 0.69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0.693 is the decay constant. After 1 half-life: 50% remains. After 10: 0.1%.
2 का प्राकृतिक लघुगणक लगभग 0.69314718055994530941 है। यह अपरिमेय और पारातीत है। ln 2, x = 1 से x = 2 तक hyperbola y = 1/x के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर है। यह हर doubling और halving को नियंत्रित करता है: जो राशि दर r से बढ़ती है, वह ln(2)/r समय में दोगुनी हो जाती है। सूचना सिद्धांत में 1 bit of information = ln 2 nats. Computing में n मानों को दर्शाने के लिए आवश्यक binary digits की संख्या log₂(n) = ln(n)/ln(2) होती है।
2 का प्राकृतिक लघुगणक is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the वैकल्पिक हार्मोनिक श्रेणी.
FAQ
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ln 2 की गणना सबसे पहले किसने की?
निकोलस मर्केटर ने 1668 में अपनी कृति Logarithmotechnia में प्रत्यावर्ती श्रेणी 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... = ln 2 प्रकाशित की। जॉन नेपियर ने 1614 में लघुगणकों का आविष्कार किया था, और ऑयलर ने 18वीं शताब्दी में आधार e से संबंध स्पष्ट किया। -
70 का नियम क्या है?
दोगुना होने का समय अनुमानित करने के लिए 70 को प्रतिशत वृद्धि दर से भाग दें। 7% वार्षिक वृद्धि पर, दोगुना होने में लगभग 70/7 = 10 वर्ष लगते हैं। यह इसलिए काम करता है क्योंकि ln 2 लगभग 0.693 है, अतः सटीक दोगुना समय ln 2 / r है, और 69.3 सुविधाजनक रूप से 70 तक गोल हो जाता है। -
ln 2 हर अर्ध-आयु सूत्र में क्यों दिखाई देता है?
आधा क्षय होने वाली राशि e^(−rate × time) = 1/2 को संतुष्ट करती है। अर्ध-आयु हल करने पर t = ln 2 / rate मिलता है। इसीलिए हर रेडियोधर्मी अर्ध-आयु, औषधि निकासी दर और RC परिपथ समय नियतांक में ln 2 होता है। -
क्या ln 2 ट्रांसेंडेंटल है?
हाँ। लिंडमन-वाइरश्ट्रास प्रमेय से पता चलता है कि यदि a एक अशून्य बीजगणितीय संख्या है, तो e^a ट्रांसेंडेंटल है। चूँकि e^(ln 2) = 2 बीजगणितीय है, ln 2 स्वयं बीजगणितीय नहीं हो सकता — अतः यह ट्रांसेंडेंटल होना चाहिए। -
ln 2 का सूचना सिद्धांत से क्या संबंध है?
क्लॉड शैनन के 1948 के सूचना सिद्धांत पत्र ने स्थापित किया कि एक बाइनरी अंक (बिट) में ठीक ln 2 नैट एन्ट्रॉपी होती है। नैट सूचना की प्राकृतिक इकाई है, और ln 2 बिट और नैट के बीच रूपांतरण गुणांक है।
Pi
नमपैड-पथ विधि से पाई, e और 38 गणितीय अचरों को कंठस्थ कीजिए
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