Що таке ln 2 (натуральний логарифм 2)?
ln 2 - це натуральний логарифм 2: степінь, до якого треба піднести e, щоб отримати 2. Геометрично він дорівнює площі під кривою y = 1/x від x = 1 до x = 2. Чисельно 2.71828…, піднесене до степеня 0.69314…, дорівнює точно 2.
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0.6931. This is the definition of natural log: ln(a) is the area under 1/x from 1 to a.
ln 2 - це стала періоду напіврозпаду. Будь-яка величина, що зменшується вдвічі з фіксованим темпом, задовольняє N(t) = N₀ · e^(-λt). Період напіврозпаду t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ. Це стосується радіоактивного розпаду, виведення ліків із кровотоку, розряду конденсатора та охолодження кави.
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... converges to ln 2 ≈ 0.6931, oscillating around the limit. Convergence is slow: every other term overshoots.
ln 2 трансцендентний (Ліндеман-Веєрштрас, 1885). У теорії інформації він конвертує між натами та бітами: 1 біт = ln(2) нат ≈ 0.693 нат. Ряд 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ збігається точно до ln 2. Обчислено: 0.69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0.693 is the decay constant. After 1 half-life: 50% remains. After 10: 0.1%.
Натуральний логарифм 2 приблизно дорівнює 0.69314718055994530941. Він ірраціональний і трансцендентний. Ln 2 дорівнює площі під гіперболою y = 1/x від x = 1 до x = 2. Він керує кожним подвоєнням і поділом навпіл: величина, що зростає з темпом r, подвоюється за час ln(2)/r. У теорії інформації 1 біт інформації дорівнює ln 2 нат. В обчисленнях кількість двійкових цифр, потрібних для подання n значень, дорівнює log₂(n) = ln(n)/ln(2).
Натуральний логарифм 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the знакозмінний гармонічний ряд.
FAQ
-
Хто першим обчислив ln 2?
Ніколас Меркатор опублікував знаковозмінний ряд 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln 2 у своїй праці 1668 року «Logarithmotechnia». Джон Непер винайшов логарифми у 1614 році, а Еулер уточнив зв'язок з основою e у XVIII столітті. -
Що таке Правило 70?
Розділіть 70 на відсоткову ставку зростання, щоб оцінити час подвоєння. При річному зростанні 7% подвоєння відбувається приблизно за 70/7 = 10 років. Це працює, тому що ln 2 приблизно дорівнює 0,693, тому точний час подвоєння становить ln 2 / r, а 69,3 зручно округлюється до 70. -
Чому ln 2 з'являється у кожній формулі періоду напіврозпаду?
Величина, що зменшується вдвічі, задовольняє рівняння e^(-ставка × час) = 1/2. Розв'язуючи для періоду напіврозпаду, отримуємо t = ln 2 / ставка. Саме тому кожен радіоактивний період напіврозпаду, швидкість виведення ліків та постійна часу RC-ланцюга містять ln 2. -
Чи є ln 2 трансцендентним?
Так. Теорема Ліндемана · Вейєрштрасса стверджує, що якщо a · ненульове алгебраїчне число, то e^a є трансцендентним. Оскільки e^(ln 2) = 2 є алгебраїчним, ln 2 сам по собі не може бути алгебраїчним · отже, він має бути трансцендентним. -
Як ln 2 пов'язаний з теорією інформації?
У статті Клода Шеннона 1948 року з теорії інформації було встановлено, що один двійковий розряд (біт) несе рівно ln 2 натів ентропії. Нат · це природна одиниця інформації, а ln 2 є коефіцієнтом перетворення між бітами та натами.
Pi
Запам'ятовуйте пі, e та 38 математичних констант методом шляху цифровою клавіатурою
Грати зараз - безкоштовноБез реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.