Що таке e (число Ейлера)?
e - це єдине число, для якого функція eˣ є власною похідною. Почніть із будь-якої величини і дайте їй зростати неперервно з темпом 100% на рік. Рівно через рік ви матимете в e разів більше, ніж починали. Жодна інша основа не має цієї самовідносної властивості.
Зі зростанням n послідовність наближається до e знизу, збігаючись до 2.71828182845904…
| n | (1 + 1/n)ⁿ | distance to e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
Інтерпретація через складні відсотки: якщо банк платить 100% річних, але нараховує їх n разів на рік, ваш баланс зростає на (1 + 1/n)ⁿ. Щомісячне нарахування дає 2.613. Нарахування щосекунди дає 2.718. Неперервне нарахування дає точно e.
At x=1, the height of the curve is e ≈ 2.718 and the slope of the tangent is also e. No other base b^x has this property.
Якоб Бернуллі відкрив e 1683 року, вивчаючи складні відсотки. Ейлер назвав його e 1731 року. Воно ірраціональне (Ейлер, 1737) і трансцендентне (Ерміт, 1873). Його десятковий запис 2.71828182845904523536… ніколи не повторюється.
Starting with $1 at 100% annual interest: compounding monthly gives $2.613, daily $2.714, every second $2.718. The limit as n до ∞ is exactly e.
e (число Ейлера) приблизно дорівнює 2.71828182845904523536. Це єдине число, для якого функція e^x дорівнює власній похідній у кожній точці. Якоб Бернуллі відкрив його 1683 року, вивчаючи складні відсотки. Леонард Ейлер назвав його e близько 1731 року. e ірраціональне (Ейлер, 1737) і трансцендентне (Ерміт, 1873). Воно з'являється в неперервному зростанні та спаді, натуральних логарифмах, нормальному розподілі, складних відсотках, радіоактивному розпаді та тотожності Ейлера e^(i*pi) + 1 = 0.
Число Ейлера e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the ряд тейлора.
FAQ
-
Хто відкрив e і коли?
Якоб Бернуллі вперше зіткнувся з цією константою у 1683 році, досліджуючи складні відсотки. Леонард Ейлер почав використовувати літеру e близько 1731 року і першим опублікував систематичні результати щодо її властивостей. -
Чому константа називається e?
Ейлер вперше використав літеру e у неопублікованій роботі близько 1728 року. Дебати щодо того, чи вона означає Ейлера чи експоненціальна, тривають. Ця назва закріпилася завдяки впливу його обширних опублікованих робіт. -
Коли було доведено, що e є трансцендентним?
Шарль Ерміт довів, що e є трансцендентним у 1873 році, зробивши його першим числом, яке було доведено як трансцендентне. Це надихнуло Ліндемана довести трансцендентність \u03C0 десятиліттям пізніше, використовуючи подібні методи. -
Де з'являється e у фінансах?
Безперервне нарощення використовує e: якщо ви інвестуєте основну суму P за річною ставкою r протягом t років, вартість становить P помножене на e^(rt). Якоб Бернуллі відкрив цю константу саме таким чином · досліджуючи, що відбувається, коли відсотки нарощуються нескінченну кількість разів на рік. -
Що таке натуральний логарифм і чому він натуральний?
Натуральний логарифм (ln) · це логарифм за основою e. Він називається натуральним, оскільки є первісною функції 1/x, найпростішої нетривіальної функції. Цей термін був запроваджений Ніколасом Меркатором у його роботі 1668 року Logarithmotechnia.
Pi
Запам'ятовуйте пі, e та 38 математичних констант методом шляху цифровою клавіатурою
Грати зараз - безкоштовноБез реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.