Qu'est-ce que e (le nombre d'Euler) ?
e est l'unique nombre pour lequel la fonction eˣ est sa propre dérivée. Partez d'un montant quelconque et laissez-le croître continuellement à 100 % par an. Après exactement un an, vous avez e fois votre mise de départ. Aucune autre base ne partage cette propriété autoréférentielle.
Quand n croît, la suite approche e par en dessous, convergeant vers 2,71828182845904…
| n | (1 + 1/n)ⁿ | distance to e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
L'interprétation par les intérêts composés : si une banque offre 100 % d'intérêts annuels mais les compose n fois par an, votre solde croît de (1 + 1/n)ⁿ. En composant mensuellement, on obtient 2,613. En composant chaque seconde, on obtient 2,718. En composant continuellement, on obtient exactement e.
At x=1, the height of the curve is e ≈ 2.718 and the slope of the tangent is also e. No other base b^x has this property.
Jacob Bernoulli a découvert e en 1683 en étudiant les intérêts composés. Euler l'a nommé e en 1731. Il est irrationnel (Euler, 1737) et transcendant (Hermite, 1873). Son développement décimal 2,71828182845904523536… ne se répète jamais.
Starting with $1 at 100% annual interest: compounding monthly gives $2.613, daily $2.714, every second $2.718. The limit as n vers ∞ is exactly e.
e (le nombre d'Euler) vaut environ 2,71828182845904523536. C'est l'unique nombre pour lequel la fonction e^x est égale à sa propre dérivée en tout point. Jacob Bernoulli l'a découvert en 1683 en étudiant les intérêts composés. Leonhard Euler l'a nommé e vers 1731. e est irrationnel (Euler, 1737) et transcendant (Hermite, 1873). Il apparaît dans la croissance et la décroissance continues, les logarithmes naturels, la distribution normale, les intérêts composés, la désintégration radioactive et l'identité d'Euler e^(i*pi) + 1 = 0.
Euler's Number e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the taylor series.
FAQ
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Qui a découvert e et quand ?
Jacob Bernoulli a rencontré la constante pour la première fois en 1683 en étudiant les intérêts composés. Leonhard Euler a commencé à utiliser la lettre e vers 1731 et a été le premier à publier des résultats systématiques sur ses propriétés. -
Pourquoi la constante s'appelle-t-elle e ?
Euler a utilisé la lettre e pour la première fois dans un manuscrit non publié vers 1728. On débat encore pour savoir si elle désigne Euler ou exponentielle. La notation s'est imposée grâce à l'influence de ses nombreuses publications. -
Quand a-t-on prouvé que e est transcendant ?
Charles Hermite a prouvé que e est transcendant en 1873, faisant de lui le premier nombre dont la transcendance a été démontrée. Cela a inspiré Lindemann à prouver la transcendance de π une décennie plus tard en utilisant des méthodes similaires. -
Où e apparaît-il en finance ?
La capitalisation continue utilise e : si vous investissez un capital P à un taux annuel r pendant t années, la valeur est P fois e^(rt). Jacob Bernoulli a trouvé la constante précisément de cette manière - en étudiant ce qui se passe lorsque les intérêts sont composés un nombre infini de fois par an. -
Qu'est-ce que le logarithme naturel, et pourquoi est-il naturel ?
Le logarithme naturel (ln) est le logarithme de base e. Il est dit naturel car c'est la primitive de 1/x, la fonction non triviale la plus simple. Le terme a été introduit par Nicholas Mercator dans son ouvrage Logarithmotechnia de 1668.
Pi
Mémorise pi, e et 38 constantes mathématiques avec la méthode du pavé numérique
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