e (ऑयलर संख्या) क्या है?
e वह अद्वितीय संख्या है जिसके लिए फलन eˣ का अवकलज वही eˣ होता है। किसी भी राशि को लें और उसे प्रति वर्ष 100% की दर से लगातार बढ़ने दें। ठीक एक वर्ष बाद आपके पास शुरुआती राशि का e गुना होगा। किसी और आधार में यह आत्म-संदर्भी गुण नहीं मिलता।
जैसे-जैसे n बढ़ता है, यह श्रेणी नीचे से e की ओर बढ़ती है और 2.71828182845904… पर अभिसरित होती है।
| n | (1 + 1/n)ⁿ | Abstand zu e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
चक्रवृद्धि ब्याज की व्याख्या: यदि कोई बैंक 100% वार्षिक ब्याज दे लेकिन वर्ष में n बार संयोजित करे, तो आपकी राशि (1 + 1/n)ⁿ से बढ़ती है। मासिक संयोजन पर 2.613 मिलता है। हर सेकंड संयोजन पर 2.718। सतत संयोजन पर ठीक e मिलता है।
x=1 पर वक्र की ऊँ चाई e ≈ 2.718 है और स्पर्शरेखा की ढाल भी e है। किसी अन्य आधार b^x में यह गुण नहीं होता।
जैकब बर्नोली ने 1683 में चक्रवृद्धि ब्याज का अध्ययन करते हुए e की खोज की। ऑयलर ने 1731 में इसे e नाम दिया। यह अपरिमेय है (Euler, 1737) और ट्रान्ससेंडेंटल है (Hermite, 1873)। इसका दशमलव विस्तार 2.71828182845904523536… कभी दोहराता नहीं।
$1 को 100% वार्षिक ब्याज पर रखें: मासिक संयोजन से $2.613, दैनिक से $2.714, हर सेकंड से $2.718 मिलता है। n की ओर ∞ होने पर सीमा ठीक e है।
e (ऑयलर संख्या) लगभग 2.71828182845904523536 है। यह वह अद्वितीय संख्या है जिसके लिए फलन e^x हर बिंदु पर अपने ही अवकलज के बराबर होता है। जैकब बर्नोली ने 1683 में चक्रवृद्धि ब्याज का अध्ययन करते हुए इसे खोजा। लेओनहार्ड ऑयलर ने लगभग 1731 में इसे e नाम दिया। e अपरिमेय (Euler, 1737) और ट्रान्ससेंडेंटल (Hermite, 1873) है। यह सतत वृद्धि और क्षय, प्राकृतिक लघुगणकों, सामान्य वितरण, चक्रवृद्धि ब्याज, रेडियोधर्मी क्षय, और ऑयलर की पहचान e^(i*pi) + 1 = 0 में दिखाई देता है।
ऑयलर संख्या e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the टेलर श्रेणी.
FAQ
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e की खोज किसने और कब की?
याकोब बर्नूली ने 1683 में चक्रवृद्धि ब्याज का अध्ययन करते हुए सबसे पहले इस नियतांक को पाया। लेओनहार्ड ऑयलर ने 1731 के आसपास अक्षर e का प्रयोग शुरू किया और इसके गुणधर्मों पर व्यवस्थित परिणाम सबसे पहले प्रकाशित किए। -
इस नियतांक को e क्यों कहते हैं?
ऑयलर ने 1728 के आसपास एक अप्रकाशित पत्र में पहली बार अक्षर e का प्रयोग किया। यह Euler या exponential के लिए है, इस पर बहस है। उनके विपुल प्रकाशित कार्य के प्रभाव से यह नाम चल पड़ा। -
e ट्रांसेंडेंटल कब सिद्ध हुआ?
चार्ल्स हर्मीट ने 1873 में e को ट्रांसेंडेंटल सिद्ध किया, जिससे यह पहली संख्या बनी जिसे ट्रांसेंडेंटल सिद्ध किया गया। इसने लिंडमन को समान विधियों से एक दशक बाद π को ट्रांसेंडेंटल सिद्ध करने की प्रेरणा दी। -
वित्त में e कहाँ दिखाई देता है?
सतत चक्रवृद्धि में e का प्रयोग होता है: यदि आप मूलधन P को वार्षिक दर r पर t वर्षों के लिए निवेश करें, तो मूल्य P गुणा e^(rt) होता है। याकोब बर्नूली ने ठीक इसी प्रकार इस नियतांक को पाया — यह अध्ययन करते हुए कि ब्याज अनंत बार प्रति वर्ष चक्रवृद्धि हो तो क्या होता है। -
प्राकृतिक लघुगणक क्या है, और यह प्राकृतिक क्यों है?
प्राकृतिक लघुगणक (ln) आधार e पर लघुगणक है। इसे प्राकृतिक कहते हैं क्योंकि यह 1/x का प्रतिअवकलज (anti-derivative) है, जो सबसे सरल अतुच्छ फ़लन है। यह शब्द निकोलस मर्केटर ने 1668 में अपनी कृति Logarithmotechnia में प्रस्तुत किया।
Pi
नमपैड-पथ विधि से पाई, e और 38 गणितीय अचरों को कंठस्थ कीजिए
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