Cos'è e (il numero di Eulero)?
e è l'unico numero per cui la funzione eˣ è la sua stessa derivata. Parti da qualsiasi quantità e lasciala crescere continuamente al 100% all'anno. Dopo esattamente un anno avrai e volte ciò con cui sei partito. Nessun'altra base condivide questa proprietà auto-referenziale.
Man mano che n cresce, la successione si avvicina a e dal basso, convergendo a 2.71828182845904…
| n | (1 + 1/n)ⁿ | distance to e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
L'interpretazione dell'interesse composto: se una banca paga il 100% di interesse annuo ma lo capitalizza n volte all'anno, il tuo saldo cresce di (1 + 1/n)ⁿ. Capitalizzando mensilmente si ottiene 2.613. Capitalizzando ogni secondo si ottiene 2.718. Capitalizzando continuamente si ottiene esattamente e.
At x=1, the height of the curve is e ≈ 2.718 and the slope of the tangent is also e. No other base b^x has this property.
Jacob Bernoulli scoprì e nel 1683 studiando l'interesse composto. Euler lo chiamò e nel 1731. È irrazionale (Euler, 1737) e trascendente (Hermite, 1873). La sua espansione decimale 2.71828182845904523536… non si ripete mai.
Starting with $1 at 100% annual interest: compounding monthly gives $2.613, daily $2.714, every second $2.718. The limit as n a ∞ is exactly e.
e (il numero di Eulero) è approssimativamente 2.71828182845904523536. È l'unico numero per cui la funzione e^x è uguale alla sua stessa derivata in ogni punto. Jacob Bernoulli lo scoprì nel 1683 studiando l'interesse composto. Leonhard Euler lo chiamò e intorno al 1731. e è irrazionale (Euler, 1737) e trascendente (Hermite, 1873). Appare nella crescita e decadimento continui, nei logaritmi naturali, nella distribuzione normale, nell'interesse composto, nel decadimento radioattivo e nell'identità di Eulero e^(i*pi) + 1 = 0.
Il numero di Eulero e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the serie di taylor.
FAQ
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Chi ha scoperto e e quando?
Jacob Bernoulli incontrò per la prima volta la costante nel 1683 mentre studiava gli interessi composti. Leonhard Euler iniziò a utilizzare la lettere e intorno al 1731 e fu il primo a pubblicare risultati sistematici sulle sue proprietà. -
Perché la costante si chiama e?
Euler utilizzò per la prima volta la lettera e in un articolo non pubblicato intorno al 1728. Se stia per Eulero o esponenziale è oggetto di dibattito. la designazione rimase grazie all'influenza del suo vasto lavoro pubblicato. -
Quando è stato dimostrato che e è trascendente?
Charles Hermite dimostrò che e è trascendente nel 1873, rendendolo il primo numero mai dimostrato essere trascendente. Ciò ispirò Lindemann a dimostrare che \u03C0 è trascendente un decennio dopo utilizzando metodi simili. -
Dove appare e in finanza?
La capitalizzazione continua utilizza e: si investe un capitale P al tasso annuo r per t anni, il valore è P moltiplicato per e^(rt). Jacob Bernoulli trovò la costante proprio in questo modo - studiando cosa succede quando gli interessi vengono capitalizzati infinite volte all'anno. -
Cos'è il logaritmo naturale e perché è naturale?
Il logaritmo naturale (ln) è il logaritmo in base e. Si chiama naturale perché è la primitiva di 1/x, la funzione non banale più semplice. Il termine fu introdotto da Nicholas Mercator nel suo lavoro del 1668 Logarithmotechnia.
Pi
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