Czym jest ln 2, logarytm naturalny z 2?
ln 2 to logarytm naturalny z 2, czyli wykładnik, do którego trzeba podnieść e, aby otrzymać 2. Geometrycznie jest równy polu pod wykresem y = 1/x od x = 1 do x = 2. Liczbowo: 2,71828… podniesione do potęgi 0,69314… daje dokładnie 2.
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0,6931. To definicja logarytmu naturalnego: ln(a) jest polem pod 1/x od 1 do a.
ln 2 jest stałą połowienia. Każda wielkość malejąca o połowę w stałym tempie spełnia N(t) = N₀ · e^(-λt). Okres półtrwania wynosi t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0,693/λ. Dotyczy to rozpadu promieniotwórczego, usuwania leków z krwiobiegu, rozładowywania kondensatora i stygnięcia kawy.
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... zbiega do ln 2 ≈ 0,6931, oscylując wokół granicy. Zbieżność jest powolna: co drugi wyraz ją przekracza.
ln 2 jest liczbą transcendentalną (Lindemann-Weierstrass, 1885). W teorii informacji przelicza nats na bity: 1 bit = ln(2) natów ≈ 0,693 nats. Szereg 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ zbiega dokładnie do ln 2. Obliczona wartość: 0,69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0,693 jest stałą zaniku. Po 1 okresie półtrwania pozostaje 50%. Po 10: 0,1%.
Logarytm naturalny z 2 jest równy w przybliżeniu 0,69314718055994530941. Jest liczbą niewymierną i transcendentalną. ln 2 jest polem pod hiperbolą y = 1/x od x = 1 do x = 2. Opisuje każde podwajanie i połowienie: wielkość rosnąca z szybkością r podwaja się w czasie ln(2)/r. W teorii informacji 1 bit informacji to ln 2 natów. W informatyce liczba cyfr binarnych potrzebnych do reprezentacji n wartości wynosi log₂(n) = ln(n)/ln(2).
Logarytm naturalny z 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the naprzemienny szereg harmoniczny.
FAQ
-
Kto pierwszy obliczył ln 2?
Nicholas Mercator opublikował szereg naprzemienny 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... = ln 2 w swoim dziele Logarithmotechnia z 1668 roku. John Napier wynalazł logarytmy w 1614 roku, a Euler wyjaśnił związek z podstawą e w XVIII wieku. -
Czym jest reguła 70?
Podziel 70 przez procentową stopę wzrostu, aby oszacować czas podwojenia. Przy 7% rocznym wzroście podwojenie trwa około 70/7 = 10 lat. Działa to, ponieważ ln 2 wynosi w przybliżeniu 0,693, więc dokładny czas podwojenia to ln 2 / r, a 69,3 zaokrągla się wygodnie do 70. -
Dlaczego ln 2 pojawia się w każdym wzorze na okres półtrwania?
Wielkość malejąca o połowę spełnia równanie e^(−szybkość × czas) = 1/2. Rozwiązanie względem okresu półtrwania daje t = ln 2 / szybkość. Dlatego każdy okres półtrwania radioaktywnego, szybkość eliminacji leku i stała czasowa obwodu RC zawiera ln 2. -
Czy ln 2 jest liczbą przestępną?
Tak. Z twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa wynika, że jeśli a jest niezerową liczbą algebraiczną, to e^a jest przestępna. Ponieważ e^(ln 2) = 2 jest liczbą algebraiczną, samo ln 2 nie może być algebraiczne - a więc musi być przestępne. -
Jak ln 2 wiąże się z teorią informacji?
W swoim przełomowym artykule z 1948 roku Claude Shannon ustalił, że jeden bit (cyfra dwójkowa) niesie dokładnie ln 2 natów entropii. Nat jest naturalną jednostką informacji, a ln 2 stanowi współczynnik przeliczeniowy między bitami a natami.
Pi
Zapamiętaj pi, e i 38 stałych matematycznych metodą ścieżki na klawiaturze numerycznej
Zagraj teraz - za darmoBez konta. Działa na każdym urządzeniu.