ما هو ln 2 (اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2)؟
ln 2 هو اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2: الأس الذي يجب رفع e إليه للحصول على 2. هندسيًا، يساوي المساحة تحت المنحنى y = 1/x من x = 1 إلى x = 2. عدديًا، رفع 2.71828… إلى الأس 0.69314… يساوي 2 تمامًا.
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0.6931. This is the definition of natural log: ln(a) is the area under 1/x from 1 to a.
ln 2 هو ثابت عمر النصف. أي كمية تتناقص إلى نصفها بمعدل ثابت تحقق N(t) = N₀ · e^(-λt). عمر النصف هو t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ. ينطبق هذا على التحلل الإشعاعي، وتصفية الأدوية من مجرى الدم، وتفريغ المكثف، وتبريد القهوة.
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... converges to ln 2 ≈ 0.6931, oscillating around the limit. Convergence is slow: every other term overshoots.
ln 2 عدد متسامٍ (ليندمان-فايرشتراس، 1885). في نظرية المعلومات يحوّل بين النات والبت: 1 بت = ln(2) نات ≈ 0.693 نات. المتسلسلة 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ تتقارب إلى ln 2 تمامًا. القيمة المحسوبة: 0.69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0.693 is the decay constant. After 1 half-life: 50% remains. After 10: 0.1%.
اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2 يساوي تقريبًا 0.69314718055994530941. وهو عدد غير نسبي ومتسامٍ. يساوي ln 2 المساحة تحت القطع الزائد y = 1/x من x = 1 إلى x = 2. يتحكم في كل تضاعف وتنصيف: كمية تنمو بمعدل r تتضاعف في زمن ln(2)/r. في نظرية المعلومات، 1 بت من المعلومات يساوي ln 2 نات. في الحوسبة، عدد الأرقام الثنائية اللازمة لتمثيل n قيمة هو log₂(n) = ln(n)/ln(2).
Natural Log of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the alternating harmonic series.
FAQ
-
من حسب ln 2 لأول مرة؟
نشر نيكولاس ميركاتور المتسلسلة المتناوبة 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln 2 في كتابه Logarithmotechnia عام 1668. اخترع جون نابيير اللوغاريتمات عام 1614، ووضّح أويلر العلاقة بالأساس e في القرن الثامن عشر. -
ما هي قاعدة الـ 70؟
اقسم 70 على معدل النمو المئوي لتقدير زمن التضاعف. عند نمو سنوي 7%، يستغرق التضاعف حوالي 70/7 = 10 سنوات. ينجح هذا لأن ln 2 تساوي تقريبًا 0.693، فزمن التضاعف الدقيق هو ln 2 / r، ويُقرّب 69.3 إلى 70. -
لماذا يظهر ln 2 في كل صيغة عمر نصفي؟
الكمية التي تتناقص إلى النصف تحقق e^(-rate × time) = 1/2. حل العمر النصفي يعطي t = ln 2 / rate. لهذا يحتوي كل عمر نصفي إشعاعي ومعدل تصفية دوائي وثابت زمن دارة RC على ln 2. -
هل ln 2 عدد متعالٍ؟
نعم. تُثبت مبرهنة ليندمان-فايرشتراس أنه إذا كان a عددًا جبريًا غير صفري، فإن e^a متعالٍ. بما أن e^(ln 2) = 2 جبري، فإن ln 2 لا يمكن أن يكون جبريًا — لذا فهو متعالٍ. -
كيف يرتبط ln 2 بنظرية المعلومات؟
أسّست ورقة كلود شانون عام 1948 في نظرية المعلومات أن الرقم الثنائي الواحد (bit) يحمل بالضبط ln 2 نات من الإنتروبيا. النات هو الوحدة الطبيعية للمعلومات، وln 2 هو معامل التحويل بين البتات والناتات.
Pi
احفظ باي وe و38 ثابتًا رياضيًا بطريقة المسار على لوحة الأرقام
العب الآن - مجاناًلا حاجة لحساب. يعمل على أي جهاز.