Vad är ln 2 (naturliga logaritmen av 2)?
ln 2 är den naturliga logaritmen av 2: den potens som e måste upphöjas till för att ge 2. Geometriskt är det lika med arean under kurvan y = 1/x från x = 1 till x = 2. Numeriskt ger 2,71828… upphöjt till potensen 0,69314… exakt 2.
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0,6931. ln(a) definieras som arean under 1/x fran 1 till a.
ln 2 är halveringstidskonstanten. Vilken storhet som helst som halveras med en fast hastighet uppfyller N(t) = N₀ · e^(-λt). Halveringstiden är t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0,693/λ. Det gäller för radioaktivt sönderfall, läkemedelsutlakning ur blodet, urladdning av en kondensator och kaffets avkylning.
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... konvergerar mot ln 2 ≈ 0,6931, oscillerar runt gransen.
ln 2 är transcendent (Lindemann - Weierstrass, 1885). Inom informationsteori konverterar det mellan nats och bitar: 1 bit = ln(2) nats ≈ 0,693 nats. Serien 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ konvergerar mot exakt ln 2. Beräknat: 0,69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0,693 ar soderfalskonstanten.
Den naturliga logaritmen av 2 är ungefär 0,69314718055994530941. Den är irrationell och transcendent. Ln 2 är lika med arean under hyperbeln y = 1/x från x = 1 till x = 2. Den styr varje fördubbling och halvering: en storhet som växer med hastigheten r fördubblas på tid ln(2)/r. Inom informationsteori är 1 bit information lika med ln 2 nats. I datavetenskap är antalet binära siffror för att representera n värden log₂(n) = ln(n)/ln(2).
Naturliga logaritmen av 2 är irrationellt. Decimalutvecklingen tar aldrig slut och upprepas aldrig. Siffrorna nedan är verifierade mot alternating harmonic series.
FAQ
-
Varför är ln 2 kopplad till fördubblingstid?
Vid kontinuerlig tillväxt med hastighet r fördubblas en storhet på tiden t där e^(rt) = 2, dvs. t = ln 2 / r. Tumregeln '70 delat på räntan' approximerar 100·ln 2 ≈ 69,3. -
Hur beräknas ln 2?
Via alternativa harmoniska serien ln 2 = 1−1/2+1/3−... (långsam), via arktangens-identiteter, eller via den snabba serien ln 2 = 2(1/3 + 1/3·3³ + ...). Moderna beräkningar använder AGM-baserade algoritmer. -
Är ln 2 normalt?
Det antas men är obevisat, precis som för π och e. -
Var dyker ln 2 upp i informationsteori?
Shannons entropi för ett rättvist mynt är −(1/2)log(1/2)−(1/2)log(1/2) = 1 bit = log₂(2) = ln 2 / ln 2 = 1. Entropins enhet 'nat' = ln 2 bitar. -
Är ln 2 algebraiskt?
Nej, ln 2 är transcendent (Gelfond-Baker-teorin). Ingen algebraisk ekvation med rationella koefficienter har ln 2 som rot.
Pi
Memorera pi, e och 38 matematiska konstanter med metoden för numerisk knappsats
Spela nu - det är gratisInget konto behövs. Fungerar på alla enheter.