Co je ln 2 (přirozený logaritmus 2)?
ln 2 je přirozený logaritmus 2: mocnina, na kterou je třeba umocnit e, aby se získal 2. Geometricky rovná se obsahu pod křivkou y = 1/x od x = 1 do x = 2. Numericky 2,71828… umocněné na 0,69314… dává přesně 2.
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0.6931. This is the definition of natural log: ln(a) is the area under 1/x from 1 to a.
ln 2 je konstanta poločasu. Libovolné množství, které se zmenšuje na polovinu konstantní rychlostí, splňuje N(t) = N₀ · e^(-λt). Poločas je t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0,693/λ. To platí pro radioaktivní rozpad, eliminaci léčiv z krve, vybíjení kondenzátoru a ochlazování kávy.
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... converges to ln 2 ≈ 0.6931, oscillating around the limit. Convergence is slow: every other term overshoots.
ln 2 je transcendentní (Lindemann-Weierstrass, 1885). V teorii informace převádí mezi naty a bity: 1 bit = ln(2) natů ≈ 0,693 natů. Řada 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ konverguje přesně k ln 2. Vypočítáno: 0,69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0.693 is the decay constant. After 1 half-life: 50% remains. After 10: 0.1%.
Přirozený logaritmus 2 je přibližně 0,69314718055994530941. Je iracionální a transcendentní. Ln 2 rovná se obsahu pod hyperbolou y = 1/x od x = 1 do x = 2. Řídí každé zdvojnásobení a zpolovinění: množství rostoucí rychlostí r se zdvojnásobí za čas ln(2)/r. V teorii informace 1 bit informace rovná ln 2 natů. V informatice je počet binárních cifer potřebných k reprezentaci n hodnot log₂(n) = ln(n)/ln(2).
Přirozený logaritmus 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the střídavá harmonická řada.
FAQ
-
Kdo poprvé vypočítal ln 2?
Nicholas Mercator publikoval střídající řadu 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln 2 ve svém díle Logarithmotechnia z roku 1668. John Napier vynalezl logaritmy v roce 1614 a Euler objasnil spojitost se základním e v 18. století. -
Jaké je pravidlo 70?
Vydělte 70 procentní mírou růstu, abyste odhadli dobu zdvojnásobení. Při 7% ročním růstu trvá zdvojnásobení přibližně 70/7 = 10 let. To funguje, protože ln 2 je přibližně 0,693, takže přesná doba zdvojnásobení je ln 2 / r a 69,3 se pohodlně zaokrouhluje na 70. -
Proč se ln 2 objevuje ve všech vzorcích poločasu rozpadu?
Veličina, která klesá na polovinu, splňuje e^(-míra x čas) = 1/2. Řešení pro poločas rozpadu dává t = ln 2 / míra. To je důvod, proč každý radioaktivní poločas rozpadu, rychlost vyléčení léku a časová konstanta RC obvodu obsahuje ln 2. -
Je ln 2 transcendentní?
Ano. Lindemann-Weierstrassova věta implikuje, že pokud je a nenulové algebraické číslo, pak je e^a transcendentní. Protože e^(ln 2) = 2 je algebraické, ln 2 nemůže být samo algebraické - takže musí být transcendentní. -
Jak ln 2 spojuje s teorií informace?
Claude Shannonova práce z roku 1948 o teorii informace stanovila, že jeden binární číslice (bit) nese přesně ln 2 nats entropie. Nat je přirozená jednotka informace a ln 2 je převodní faktor mezi bity a nats.
Pi
Zapamatuj si pí, e a 38 matematických konstant metodou cesty po numerické klávesnici
Hrát nyní - zdarmaBez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.