Was ist ln 2, der natürliche Logarithmus von 2?
ln 2 ist der natürliche Logarithmus von 2, also die Potenz, zu der e erhoben werden muss, um 2 zu ergeben. Geometrisch ist ln 2 die Fläche unter der Kurve y = 1/x von x = 1 bis x = 2. Numerisch gilt: 2,71828… hoch 0,69314… ist genau 2.
∫₁² 1/x dx = ln(2) - ln(1) = ln 2 ≈ 0,6931. So wird der natürliche Logarithmus definiert: ln(a) ist die Fläche unter 1/x von 1 bis a.
ln 2 ist die Halbwertskonstante. Jede Größe, die sich mit fester Rate halbiert, erfüllt N(t) = N₀ · e^(-λt). Die Halbwertszeit ist dann t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0,693/λ. Das gilt für radioaktiven Zerfall, den Abbau von Medikamenten im Blut, die Entladung eines Kondensators und das Abkühlen von Kaffee.
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... konvergiert gegen ln 2 ≈ 0,6931 und oszilliert um den Grenzwert. Die Konvergenz ist langsam, jedes zweite Glied überschießt.
ln 2 ist transzendent, nach dem Satz von Lindemann-Weierstraß aus dem Jahr 1885. In der Informationstheorie wandelt es zwischen Nats und Bits um: 1 Bit = ln(2) Nats ≈ 0,693 Nats. Die Reihe 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ konvergiert exakt gegen ln 2. Berechnet ergibt das 0,69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0,693 ist die Zerfallskonstante. Nach 1 Halbwertszeit bleiben 50 Prozent, nach 10 nur noch 0,1 Prozent.
Der natürliche Logarithmus von 2 ist ungefähr 0,69314718055994530941. Er ist irrational und transzendent. ln 2 ist die Fläche unter der Hyperbel y = 1/x von x = 1 bis x = 2. Er steuert jede Verdopplung und jede Halbierung: Eine Größe, die mit Rate r wächst, verdoppelt sich in der Zeit ln(2)/r. In der Informationstheorie entspricht 1 Bit Information genau ln 2 Nats. In der Informatik gilt für die Anzahl binärer Stellen, die man braucht, um n Werte darzustellen: log₂(n) = ln(n)/ln(2).
Natural Log of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the alternating harmonic series.
FAQ
-
Wer hat ln 2 zuerst berechnet?
Nicholas Mercator veröffentlichte die alternierende Reihe 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln 2 in seinem Werk Logarithmotechnia von 1668. John Napier hatte 1614 die Logarithmen erfunden, und Euler klärte im 18. Jahrhundert die Verbindung zur Basis e. -
Was ist die 70er-Regel?
Teile 70 durch eine prozentuale Wachstumsrate, um die Verdopplungszeit abzuschätzen. Bei 7 % jährlichem Wachstum dauert die Verdopplung etwa 70/7 = 10 Jahre. Das funktioniert, weil ln 2 ungefähr 0,693 beträgt und die exakte Verdopplungszeit ln 2 / r ist - und 69,3 bequem zu 70 gerundet wird. -
Warum taucht ln 2 in jeder Halbwertszeit-Formel auf?
Eine Größe, die sich halbiert, erfüllt e^(-Rate × Zeit) = 1/2. Die Auflösung nach der Halbwertszeit ergibt t = ln 2 / Rate. Deshalb enthält jede radioaktive Halbwertszeit, Medikamenten-Abbaurate und RC-Schaltungszeitkonstante ln 2. -
Ist ln 2 transzendent?
Ja. Der Satz von Lindemann-Weierstraß besagt, dass wenn a eine von Null verschiedene algebraische Zahl ist, dann ist e^a transzendent. Da e^(ln 2) = 2 algebraisch ist, kann ln 2 selbst nicht algebraisch sein - es muss also transzendent sein. -
Wie hängt ln 2 mit der Informationstheorie zusammen?
Claude Shannons Informationstheorie-Arbeit von 1948 legte fest, dass eine Binärziffer (Bit) genau ln 2 Nat an Entropie trägt. Das Nat ist die natürliche Einheit der Information, und ln 2 ist der Umrechnungsfaktor zwischen Bit und Nat.
Pi
Memoriere Pi, e und 38 mathematische Konstanten mit der Zahlenpfad-Methode
Jetzt spielen - kostenlosKein Konto nötig. Funktioniert auf jedem Gerät.