Что такое ln 2, натуральный логарифм 2?
ln 2 - это натуральный логарифм числа 2, то есть степень, в которую нужно возвести e, чтобы получить 2. Геометрически ln 2 равен площади под кривой y = 1/x от x = 1 до x = 2. Численно это означает, что 2,71828… в степени 0,69314… даёт ровно 2.
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0,6931. Так определяется натуральный логарифм: ln(a) - это площадь под 1/x от 1 до a.
ln 2 - это константа периода полураспада. Любая величина, которая убывает вдвое с постоянной скоростью, подчиняется закону N(t) = N₀ · e^(-λt). Тогда период полураспада равен t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0,693/λ. Это работает для радиоактивного распада, выведения лекарств из крови, разрядки конденсатора и остывания кофе.
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... сходится к ln 2 ≈ 0,6931 и колеблется вокруг предела. Сходимость медленная, каждый второй член переходит через предел.
ln 2 трансцендентно согласно теореме Линдемана - Вейерштрасса 1885 года. В теории информации оно переводит натсы в биты: 1 бит = ln(2) нат ≈ 0,693 нат. Ряд 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ сходится к ln 2, поэтому эта константа соединяет логарифмы, анализ и информацию.
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0,693 - это константа распада. После одного периода полура спада остаётся 50 процентов, после десяти - только 0,1 процента.
Натуральный логарифм 2 приблизительно равен 0,69314718055994530941. Он иррационален и трансцендентен. ln 2 - это площадь под гиперболой y = 1/x от 1 до 2. Это также константа периода полураспада, потому что любая величина, убывающая вдвое с постоянной скоростью, имеет t₁/₂ = ln(2)/λ. В теории информации 1 бит соответствует ln(2) натам. Кроме того, знакочередующийся гармонический ряд сходится к ln 2.
Natural Log of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the alternating harmonic series.
FAQ
-
Кто первым вычислил ln 2?
Николас Меркатор опубликовал знакопеременный ряд 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln 2 в своей работе Logarithmotechnia 1668 года. Джон Непер изобрёл логарифмы в 1614 году, а Эйлер уточнил связь с основанием e в XVIII веке. -
Что такое правило 70?
Разделите 70 на процентную ставку роста, чтобы оценить время удвоения. При 7% годового роста удвоение происходит примерно за 70/7 = 10 лет. Это работает, потому что ln 2 ≈ 0,693, так что точное время удвоения равно ln 2 / r, а 69,3 округляется до 70. -
Почему ln 2 появляется в каждой формуле периода полураспада?
Величина, уменьшающаяся вдвое, удовлетворяет e^(-скорость × время) = 1/2. Решая для периода полураспада, получаем t = ln 2 / скорость. Поэтому каждый период полураспада радиоактивных элементов, выведение лекарств и постоянная времени RC-цепи содержат ln 2. -
Является ли ln 2 трансцендентным?
Да. Теорема Линдемана–Вейерштрасса утверждает, что если a — ненулевое алгебраическое число, то e^a трансцендентно. Поскольку e^(ln 2) = 2 алгебраическое, ln 2 не может быть алгебраическим — значит, оно трансцендентно. -
Как ln 2 связано с теорией информации?
В своей статье 1948 года по теории информации Клод Шеннон установил, что один двоичный разряд (бит) несёт ровно ln 2 нат энтропии. Нат — естественная единица информации, а ln 2 — коэффициент перевода между битами и натами.
Pi
Запоминайте пи, e и 38 математических констант методом пути по цифровой клавиатуре
Играть сейчас - бесплатноБез регистрации. Работает на любом устройстве.