什么是 ln 2，也就是 2 的自然对数？
ln 2 是 2 的自然对数，也就是 e 需要取到怎样的幂才会得到 2。从几何上看，ln 2 是曲线 y = 1/x 在 x = 1 到 x = 2 之间下方的面积。从数值上说，2.71828… 的 0.69314… 次幂恰好等于 2。
∫₁² 1/x dx = ln(2) - ln(1) = ln 2 ≈ 0.6931。这也是自然对数的定义方式：ln(a) 就是 1/x 从 1 积分到 a 的面积。
ln 2 是半衰期常数。任何以固定速率减半的量都满足 N(t) = N₀ · e^(-λt)。它的半衰期就是 t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ。这适用于放射性衰变、药物在血液中的代谢、电容器放电，以及一杯咖啡的冷却。
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... 会收敛到 ln 2 ≈ 0.6931，并在极限附近来回振荡。收敛速度较慢，每隔一 项都会从另一侧越过极限。
根据 1885 年的 Lindemann-Weierstrass 定理，ln 2 是超越数。在信息论中，它用于在 nats 与 bits 之间换算：1 bit = ln(2) nats ≈ 0.693 nats。级数 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ 会精确收敛到 ln 2。它的小数展开为 0.69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½)。ln 2 ≈ 0.693 是衰变常数中的关键因子。经过 1 个半衰期剩下 50%，经过 10 个半衰期只剩约 0.1%。
2 的自然对数大约等于 0.69314718055994530941。它是无理数，也是超越数。ln 2 等于双曲线 y = 1/x 在 x = 1 到 x = 2 之间下方的面积。它支配着任何翻倍与任何减半：若某个量以速率 r 增长，那么它翻倍所需的时间就是 ln(2)/r。在信息论中，1 bit 的信息恰好等于 ln 2 nats。在计算机科学中，表示 n 个状态所需的二进制位数满足 log₂(n) = ln(n)/ln(2)。
2 的自然对数 ln 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the 交错调和级数.
FAQ
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谁最先计算了 ln 2？
Nicholas Mercator 在其1668年的著作《Logarithmotechnia》中发表了交替级数 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln 2。John Napier 于1614年发明了对数，Euler 在18世纪阐明了其与以 e 为底的关系。 -
什么是70法则？
用70除以百分比增长率可以估算翻倍时间。以7%的年增长率计算，翻倍大约需要 70/7 = 10 年。这是因为 ln 2 约等于 0.693，所以精确的翻倍时间是 ln 2 / r，而 69.3 方便地四舍五入为70。 -
为什么 ln 2 出现在每一个半衰期公式中？
衰减一半的量满足 e^(-速率 x 时间) = 1/2。求解半衰期得 t = ln 2 / 速率。这就是为什么每一个放射性半衰期、药物清除率和 RC 电路时间常数都包含 ln 2。 -
ln 2 是超越数吗？
是的。Lindemann-Weierstrass 定理表明，如果 a 是非零代数数，则 e^a 是超越数。由于 e^(ln 2) = 2 是代数数，ln 2 本身不可能是代数数··所以它必须是超越数。 -
ln 2 与信息论有什么关系？
Claude Shannon 1948年的信息论论文确立了一个二进制位（bit）恰好携带 ln 2 奈特的熵。奈特是信息的自然单位，ln 2 是比特和奈特之间的转换系数。