Τι είναι το ln 2 (φυσικός λογάριθμος του 2);
Το ln 2 είναι ο φυσικός λογάριθμος του 2: η δύναμη στην οποία πρέπει να υψωθεί το e για να δώσει 2. Γεωμετρικά, ισούται με το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη y = 1/x από x = 1 έως x = 2. Αριθμητικά, το 2.71828… υψωμένο στη δύναμη 0.69314… ισούται ακριβώς με 2.
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0.6931. This is the definition of natural log: ln(a) is the area under 1/x from 1 to a.
Το ln 2 είναι η σταθερά του χρόνου ημιζωής. Κάθε ποσότητα που υποδιπλασιάζεται με σταθερό ρυθμό ικανοποιεί την N(t) = N₀ · e^(-λt). Ο χρόνος ημιζωής είναι t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ. Αυτό ισχύει για τη ραδιενεργό διάσπαση, την αποβολή φαρμάκων από την κυκλοφορία του αίματος, την εκφόρτιση ενός πυκνωτή και την ψύξη του καφέ.
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... converges to ln 2 ≈ 0.6931, oscillating around the limit. Convergence is slow: every other term overshoots.
Το ln 2 είναι υπερβατικό (Lindemann-Weierstrass, 1885). Στη θεωρία πληροφορίας μετατρέπει μεταξύ nats και bits: 1 bit = ln(2) nats ≈ 0.693 nats. Η σειρά 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ συγκλίνει ακριβώς στο ln 2. Υπολογισμένο: 0.69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). ln 2 ≈ 0.693 is the decay constant. After 1 half-life: 50% remains. After 10: 0.1%.
Ο φυσικός λογάριθμος του 2 είναι περίπου 0.69314718055994530941. Είναι άρρητος και υπερβατικός. Το ln 2 ισούται με το εμβαδόν κάτω από την υπερβολή y = 1/x από x = 1 έως x = 2. Διέπει κάθε διπλασιασμό και υποδιπλασιασμό: μια ποσότητα που αυξάνεται με ρυθμό r διπλασιάζεται σε χρόνο ln(2)/r. Στη θεωρία πληροφορίας, 1 bit πληροφορίας ισούται με ln 2 nats. Στους υπολογιστές, το πλήθος των δυαδικών ψηφίων που χρειάζονται για να αναπαρασταθούν n τιμές είναι log₂(n) = ln(n)/ln(2).
Natural Log of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the alternating harmonic series.
FAQ
-
Ποιος υπολόγισε πρώτος το ln 2;
Ο Nicholas Mercator δημοσίευσε την εναλλασσόμενη σειρά 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln 2 στο έργο του το 1668, Logarithmotechnia. Ο John Napier είχε επινοήσει τους λογαρίθμους το 1614, και ο Euler απελευθέρωσε τη σύνδεση με τη βάση e τον 18ο αιώνα. -
Ποιος είναι ο Κανόνας του 70;
Διαιρέστε το 70 με ένα ποσοστό ρυθμού ανάπτυξης για να εκτιμήσετε τον χρόνο διπλασιασμού. Σε ετήσια ανάπτυξη 7%, ο διπλασιασμός διαρκεί περίπου 70/7 = 10 χρόνια. Αυτό λειτουργεί επειδή το ln 2 είναι κατά προσέγγιση 0,693, οπότε ο ακριβής χρόνος διπλασιασμού είναι ln 2 / r, και το 69,3 στρογγυλοποιείται βολικά στο 70. -
Γιατί εμφανίζεται το ln 2 σε κάθε τύπο ημιζωής;
Μεταβλητή που μειώνεται κατά το μισό ικανοποιεί τη σχέση e^(-ρυθμός x χρόνος) = 1/2. Η επίλυση για την ημιζωή δίνει t = ln 2 / ρυθμός. Γι' αυτόν τον λόγο κάθε ημιζωή ραδιενεργού στοιχείου, ρυθμός καθαρισμού φαρμάκων και σταθερά χρόνου κυκλώματος RC περιέχει το ln 2. -
Είναι το ln 2 μεταγενέστερο;
Ναι. Ο θεώρημα Lindemann-Weierstrass υποδεικνύει ότι αν το a είναι μη μηδενικός αλγεβρικός αριθμός, τότε το e^a είναι μεταγενέστερο. Εφόσον το e^(ln 2) = 2 είναι αλγεβρικός, το ln 2 δεν μπορεί να είναι αλγεβρικός · επομένως πρέπει να είναι μεταγενέστερο. -
Πώς συνδέεται το ln 2 με τη θεωρία πληροφοριών;
Το άρθρο του Claude Shannon το 1948 για τη θεωρία πληροφοριών καθιέρωσε ότι ένα δυαδικό ψηφίο (bit) μεταφέρει ακριβώς ln 2 nats εντροπίας. Το nat είναι η φυσική μονάδα πληροφορίας, και το ln 2 είναι ο συντελεστής μετατροπής μεταξύ bit και nat.
Pi
Απομνημονεύστε το π, το e και 38 μαθηματικές σταθερές με τη μέθοδο διαδρομής στο αριθμητικό πληκτρολόγιο
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.