Czym jest stała Eulera-Mascheroniego (γ)?
Szereg harmoniczny 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ jest rozbieżny, ale rośnie niewiarygodnie powoli. Po milionie wyrazów ledwo przekracza 14. Logarytm naturalny ln(n) rośnie w tym samym tempie. Stała Eulera-Mascheroniego γ jest dokładną różnicą między nimi: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
Różnica między sumą harmoniczną a ln(n) dąży do γ ≈ 0,5772, gdy n do ∞. Zbieżność jest bardzo powolna · przy n = 1000 różnica wciąż wynosi około 0,001.
γ pojawia się w wielu miejscach analizy i teorii liczb. Łączy szereg harmoniczny z funkcją dzeta Riemanna: w sensie formalnym γ = -ζ'(1). Występuje też w funkcji Gamma, gdzie Γ'(1) = -γ, w rozkładzie luk między liczbami pierwszymi, w funkcjach Bessela i w rozwinięciu asymptotycznym funkcji digamma.
To, czy γ jest liczbą wymierną czy niewymierną, pozostaje jednym z najstarszych otwartych problemów matematyki. Prawie wszyscy matematycy sądzą, że jest transcendentalna, ale dowodu nadal nie ma. Obliczono ją do ponad 600 miliardów miejsc po przecinku: 0,57721566490153286060651209008240243…
Sumy częściowe H(n) (czerwone, schodkowe) w porównaniu z ln(n)+γ (niebieskie, gładkie). Różnica między nimi dąży do 0 w sensie H(n)−ln(n) do γ.
Stała Eulera-Mascheroniego gamma ma wartość około 0,57721566490153286060. Nie wiadomo, czy jest liczbą wymierną czy niewymierną · to jeden z najsłynniejszych otwartych problemów matematyki. Euler po raz pierwszy opublikował ją w 1734 roku; Mascheroni obliczył ją niezależnie w 1790 roku. Gamma pojawia się w funkcji Gamma, funkcji dzeta Riemanna, twierdzeniu Mertensa o iloczynach po liczbach pierwszych, funkcjach Bessela i rozkładzie luk między liczbami pierwszymi. Ponieważ nie istnieje prosty algorytm strumieniowego generowania jej cyfr, są one wstępnie obliczane i przechowywane.
Stała Eulera-Mascheroniego γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the granica harmoniczno-logarytmiczna.
FAQ
-
Kto odkrył stałą Eulera-Mascheroniego?
Leonhard Euler opisał ją po raz pierwszy w 1735 roku, badając różnicę między szeregiem harmonicznym a logarytmem naturalnym. Lorenzo Mascheroni obliczył ją z większą liczbą miejsc dziesiętnych w 1790 roku i nadał jej symbol γ. -
Czy γ jest liczbą wymierną czy niewymierną?
Nikt nie wie. Jest to jeden z najsłynniejszych otwartych problemów w matematyce. Matematycy silnie podejrzewają, że γ jest niewymierna, lecz nigdy nie znaleziono dowodu, mimo wielowiekowych starań. Obliczono ją z dokładnością do ponad 600 miliardów miejsc dziesiętnych. -
Czym jest szereg harmoniczny?
Szereg harmoniczny to 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... Ta suma rośnie nieograniczenie - udowodnił to Nicole d'Oresme około 1350 roku - ale rośnie bardzo wolno. γ mierzy dokładną różnicę między tą sumą a ln n, gdy n dąży do nieskończoności. -
Dlaczego γ uważa się za tajemniczą w porównaniu z π i e?
π i e mają znane interpretacje geometryczne i obie udowodniono jako przestępne. γ wynika z subtelniejszego porównania sumy dyskretnej z funkcją ciągłą. Nawet jej najbardziej podstawowa własność - czy może być ułamkiem - pozostaje nierozwiązana. -
Gdzie γ pojawia się w nauce?
γ pojawia się w rozkładzie liczb pierwszych, w funkcji dzeta Riemanna w pobliżu s=1, w funkcji gamma dla wartości całkowitych, w funkcjach Bessela ważnych w fizyce fal oraz w obliczeniach zasięgu sygnału antenowego.
Pi
Zapamiętaj pi, e i 38 stałych matematycznych metodą ścieżki na klawiaturze numerycznej
Zagraj teraz - za darmoBez konta. Działa na każdym urządzeniu.