Mi az Euler-Mascheroni-állandó (γ)?
Az 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ harmonikus sor divergál, de hihetetlenül lassan nő. Egymillió tag után alig éri el a 14-et. Az ln(n) természetes logaritmus ugyanilyen ütemben nő. Az Euler-Mascheroni-állandó γ a kettő közötti pontos eltérés: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n felé ∞. Convergence is very slow - the gap is still 0.001 at n = 1000.
A γ az analízisben és a számelméletben mindenhol megjelenik. Összeköti a harmonikus sort a Riemann-féle zéta-függvénnyel: γ = -ζ'(1) formális értelemben. Megjelenik a gamma-függvényben Γ'(1) = -γ, a prímhézagok eloszlásában, a Bessel-függvényekben és a digamma-függvény aszimptotikus kifejtésében.
Az, hogy a γ racionális vagy irracionális-e, a matematika egyik legrégebbi nyitott problémája. Szinte minden matematikus úgy véli, hogy transzcendens, de nem létezik rá bizonyítás. Több mint 600 milliárd tizedesjegyig kiszámították: 0.57721566490153286060651209008240243…
The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) felé γ.
Az Euler-Mascheroni-állandó gamma megközelítőleg 0.57721566490153286060. Az, hogy racionális vagy irracionális-e, ismeretlen, a matematika egyik leghíresebb nyitott problémája. Euler először 1734-ben publikálta; Mascheroni egymástól függetlenül 1790-ben számította ki. A gamma megjelenik a gamma-függvényben, a Riemann-féle zéta-függvényben, a prímszorzatokra vonatkozó Mertens-tételben, a Bessel-függvényekben és a prímhézagok eloszlásában. Mivel nem létezik folyamatos algoritmus, a számjegyeit előre kiszámítják és tárolják.
Euler-Mascheroni-állandó γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the harmonikus-logaritmus határérték.
FAQ
-
Ki fedezte fel az Euler-Mascheroni-állandót?
Leonhard Euler írta le először 1735-ben, amikor a harmonikus sorozat és a természetes logaritmus közötti különbséget vizsgálta. Lorenzo Mascheroni 1790-ben tizedesjegyig számolta ki, és adta neki a \u03B3 szimbólumot. -
A \u03B3 racionális vagy irracionális?
Senki sem tudja. Ez az egyik leghíresebb nyitott probléma a matematikában. A matematikusok erősen gyanítják, hogy a \u03B3 irracionális, de évszázadok igyekezete ellenére soha nem találtak bizonyítékot. Több mint 600 milliárd tizedesjegyig számolták ki. -
Mi a harmonikus sorozat?
A harmonikus sorozat: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... Ez az összeg korlátlanul nő - ezt Nicole d'Oresme bizonyította körülbelül 1350 körül -, de nagyon lassan. A \u03B3 azt a pontos rést méri, amely ezen az összeg és ln n között van, ahogy n a végtelenbe tart. -
Miért tekintik a \u03B3-t rejtélyesebbnek, mint a \u03C0-t és az e-t?
A \u03C0-nek és az e-nek ismert geometriai jelentése van, és mindkettőt bebizonyítottan transzcendens. A \u03B3 egy finomabb összehasonlításból származik egy diszkrét összeg és egy folytonos függvény között. Még a legalapvetőbb tulajdonsága sem tisztázott - hogy lehet-e tört. -
Hol fordul elő a \u03B3 a tudományban?
A \u03B3 megjelenik a prímszámok eloszlásában, a Riemann-féle zétafüggvényben s=1 közelében, a Gamma-függvényben egész értékeknél, a Bessel-függvényekben, amelyek fontosak a hullámfizikában, valamint az antenna-jel lefedettségének számításaiban.
Pi
Jegyezd meg a pi-t, az e-t és 38 matematikai állandót a számbillentyűzet-útvonal módszerével
Játsszon most - ingyenesNincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.