オイラー＝マスケローニ定数 γ とは？
調和級数 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ は発散するが、その増え方は驚くほど遅い。100 万項足しても値はまだ 14 ほどにしかならない。自然対数 ln(n) はまさに同じ速度で増える。オイラー＝マスケローニ定数 γ は、その 2 つの差が最終的に近づく正確な値である。
調和和と ln(n) の差は n へ ∞ で γ ≈ 0.5772 に近づく。収束は非常に遅く、n = 1000 でも差はまだ約 0.001 残る。
γ は解析学と整数論の至るところに現れる。形式的には γ = -ζ′(1) と見なせ、ガンマ関数では Γ′(1) = -γ となる。素数ギャップの分布、ベッセル関数、メルテンス型の定理などにも登場する。ありふれたように見えるのに、その本質は非常に深い。
γ が有理数か無理数かは、数学でもっとも古い未解決問題の一つである。多くの数学者は超越数だと考えているが、証明はまだない。値は 0.577215664901… と続き、6000 億桁以上まで計算されている。
調和部分和 H(n)（赤い階段）と ln(n)+γ（青い滑らかな曲線）。その差 H(n)−ln(n) は γ に近づく。
オイラー＝マスケローニ定数 γ はおよそ 0.57721566490153286060。H(n) − ln(n) の極限として定義される。1734 年にオイラーが公表し、1790 年にはマスケローニが独立に計算した。ガンマ関数、リーマンゼータ関数、素数積に関するメルテンスの定理、ベッセル関数、素数ギャップの分布などに現れる。無理数かどうかは依然として不明である。
Euler-Mascheroni Constant γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the harmonic-logarithm limit.
FAQ
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オイラー・マスケローニ定数を発見したのは誰ですか？
レオンハルト・オイラーが1735年に調和級数と自然対数の差を研究する中で初めて記述しました。ロレンツォ・マスケローニが1790年により多くの小数位まで計算し、記号 γ を与えました。 -
γ は有理数ですか、それとも無理数ですか？
誰にも分かりません。これは数学における最も有名な未解決問題の一つです。数学者たちは γ が無理数であると強く予想していますが、何世紀もの努力にもかかわらず証明は見つかっていません。現在、6000億桁以上まで計算されています。 -
調和級数とは何ですか？
調和級数は 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... です。この和は無限に増大しますが（ニコル・ドレームが西暦1350年頃に証明）、非常にゆっくり増加します。γ は n が無限大になるとき、この和と ln n の間の正確な差を表します。 -
なぜ γ は π や e と比べて神秘的とされるのですか？
π と e は既知の幾何学的意味を持ち、どちらも超越数であることが証明されています。γ は離散的な和と連続関数のより微妙な比較から生じます。その最も基本的な性質——分数で表せるかどうか——さえ未解決です。 -
γ は科学のどこに現れますか？
γ は素数の分布、s=1 付近のリーマンゼータ関数、整数値でのガンマ関数、波動物理学で重要なベッセル関数、そしてアンテナの電波カバレッジの計算に現れます。