Co je Eulerova-Mascheroniho konstanta (γ)?
Harmonická řada 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ diverguje, ale roste neuvěřitelně pomalu. Po milionu členů se jen stěží dostane k 14. Přirozený logaritmus ln(n) roste stejnou rychlostí. Eulerova-Mascheroniho konstanta γ je přesná mezera mezi nimi: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n do ∞. Convergence is very slow - the gap is still 0.001 at n = 1000.
γ se vyskytuje v celé analýze a teorii čísel. Propojuje harmonickou řadu s Riemannovou zeta funkcí: γ = -ζ'(1) v formálním smyslu. Objevuje se ve funkci Gamma Γ'(1) = -γ, v rozdělení mezery prvočísel, v Besselových funkcích a v asymptotickém rozvoji digamma funkce.
Zda je γ racionální nebo iracionální, je jedním z nejstarších otevřených problémů matematiky. Skoro každý matematik věří, že je transcendentní, ale důkaz neexistuje. Byla vypočítána na více než 600 miliard desetinných míst: 0.57721566490153286060651209008240243…
The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) do γ.
Eulerova-Mascheroniho konstanta gamma je přibližně 0.57721566490153286060. Zda je racionální nebo iracionální, je neznámé, jedná se o jeden z nejznámějších otevřených problémů matematiky. Euler ji poprvé publikoval v roce 1734; Mascheroni ji nezávisle vypočítal v roce 1790. Gamma se vyskytuje ve funkci Gamma, Riemannově zeta funkci, Mertensově větě o produktech prvočísel, Besselových funkcích a rozdělení mezery prvočísel. Protože neexistuje streamovací algoritmus, její číslice jsou předpočítány a uloženy.
Eulerova-Mascheroniho konstanta γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the limit harmonické řady a logaritmu.
FAQ
-
Kdo objevil Euler-Mascheronovu konstantu?
Leonhard Euler ji poprvé popsal v roce 1735 při studiu rozdílu mezi harmonickou řadou a přirozeným logaritmem. Lorenzo Mascheroni ji v roce 1790 vypočítal na více desetinných míst a přiřadil jí symbol \u03B3. -
Je \u03B3 racionální nebo iracionální?
Nikdo neví. Jedná se o jeden z nejslavnějších nevyřešených problémů matematiky. Matematici silně předpokládají, že \u03B3 je iracionální, ale žádný důkaz nebyl nikdy nalezen navzdory staletí úsilí. Byla vypočítána na více než 600 miliard desetinných míst. -
Co je harmonická řada?
Harmonická řada je 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... Tento součet roste bez omezení - dokázal Nicole d'Oresme kolem roku 1350 n. l. - ale roste velmi pomalu. \u03B3 měří přesnou mezeru mezi tímto součtem a ln n, jak n roste směrem k nekonečnu. -
Proč je \u03B3 považována za záhadná ve srovnání s \u03C0 a e?
\u03C0 a e mají známé geometrické významy a obě jsou prokázány jako transcendentní. \u03B3 vzniká z jemnějšího srovnání diskrétního součtu a spojité funkce. Dokonce i její nejzákladnější vlastnost - zda může být zlomek - zůstává nevyřešena. -
Kde se \u03B3 objevuje ve vědě?
\u03B3 se objevuje v distribuci prvočísel, v Riemannově zeta funkci v blízkosti s=1, v Gamma funkci při celočíselných hodnotách, v Besselových funkcích důležitých pro fyziku vln a ve výpočtech pokrytí anténního signálu.
Pi
Zapamatuj si pí, e a 38 matematických konstant metodou cesty po numerické klávesnici
Hrát nyní - zdarmaBez registrace. Funguje na jakémkoli zařízení.