Τι είναι η σταθερά Euler-Mascheroni (γ);
Η αρμονική σειρά 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ αποκλίνει, αλλά αυξάνεται απίστευτα αργά. Μετά από ένα εκατομμύριο όρους μόλις φτάνει το 14. Ο φυσικός λογάριθμος ln(n) αυξάνεται με τον ίδιο ρυθμό. Η σταθερά Euler-Mascheroni γ είναι το ακριβές χάσμα μεταξύ τους: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n προς ∞. Convergence is very slow - the gap is still 0.001 at n = 1000.
Η γ εμφανίζεται σε όλη την ανάλυση και τη θεωρία αριθμών. Συνδέει την αρμονική σειρά με τη συνάρτηση ζήτα του Riemann: γ = -ζ'(1) με μια τυπική έννοια. Εμφανίζεται στη συνάρτηση Γάμμα Γ'(1) = -γ, στην κατανομή των κενών μεταξύ πρώτων, στις συναρτήσεις Bessel, και στο ασυμπτωτικό ανάπτυγμα της διγάμμα συνάρτησης.
Το αν η γ είναι ρητή ή άρρητη είναι ένα από τα παλαιότερα ανοιχτά προβλήματα στα μαθηματικά. Σχεδόν κάθε μαθηματικός πιστεύει ότι είναι υπερβατική, αλλά δεν υπάρχει απόδειξη. Έχει υπολογιστεί σε πάνω από 600 δισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία: 0.57721566490153286060651209008240243…
The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) προς γ.
Η σταθερά Euler-Mascheroni gamma είναι περίπου 0.57721566490153286060. Το αν είναι ρητή ή άρρητη είναι άγνωστο, ένα από τα πιο διάσημα ανοιχτά προβλήματα στα μαθηματικά. Ο Euler την δημοσίευσε πρώτος το 1734· ο Mascheroni την υπολόγισε ανεξάρτητα το 1790. Η gamma εμφανίζεται στη συνάρτηση Γάμμα, στη συνάρτηση ζήτα του Riemann, στο θεώρημα του Mertens για τα γινόμενα πρώτων, στις συναρτήσεις Bessel, και στην κατανομή των κενών μεταξύ πρώτων. Καθώς δεν υπάρχει αλγόριθμος ροής, τα ψηφία της είναι προϋπολογισμένα και αποθηκευμένα.
Σταθερά Euler-Mascheroni γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the όριο αρμονικής-λογαρίθμου.
FAQ
-
Ποιος ανακάλυψε τη σταθερά Euler-Mascheroni;
Ο Leonhard Euler την περιέγραψε για πρώτη φορά το 1735 ενώ μελετούσε τη διαφορά μεταξύ της αρμονικής σειράς και του φυσικού λογαρίθμου. Ο Lorenzo Mascheroni τον υπολόγισε σε περισσότερα δεκαδικά ψηφία το 1790 και του έδωσε το σύμβολο \u03B3. -
Είναι ο \u03B3 ρητός ή άρρητος;
Κανείς δεν ξέρει. Αυτό είναι ένα από τα πιο γνωστά ανοιχτά προβλήματα στα μαθηματικά. Οι μαθηματικοί υποψιάζονται έντονα ότι ο \u03B3 είναι άρρητος, αλλά δεν έχει βρεθεί ποτέ απόδειξη παρά τις αιώνες προσπάθειας. Έχει υπολογιστεί σε πάνω από 600 δισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία. -
Τι είναι η αρμονική σειρά;
Η αρμονική σειρά είναι 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... Αυτό το άθροισμα μεγαλώνει χωρίς όριο - αποδεδειγμένο από τον Nicole d'Oresme γύρω στο 350 μ.Χ. - αλλά μεγαλώνει πολύ αργά. Ο \u03B3 μετρά το ακριβές κενό μεταξύ αυτού του αθροίσματος και του ln n καθώς το n μεγαλώνει προς το άπειρο. -
Γιατί ο \u03B3 θεωρείται μυστηριώδης σε σύγκριση με τον \u03C0 και το e;
Ο \u03C0 και το e έχουν γνωστές γεωμετρικές σημασίες και έχουν αποδειχθεί ότι είναι υπερβατικοί. Ο \u03B3 προκύπτει από μια πιο λεπτή σύγκριση μεταξύ μιας διακριτής άθροισης και μιας συνεχούς συνάρτησης. Ακόμη και η πιο βασική ιδιότητά του - αν μπορεί να είναι κλάσμα - παραμένει ανεπίλυτη. -
Πού εμφανίζεται ο \u03B3 στην επιστήμη;
Ο \u03B3 εμφανίζεται στην κατανομή των πρώτων αριθμών, στη συνάρτηση ζήτα Riemann κοντά στο s=1, στη συνάρτηση Γάμμα σε ακέραιες τιμές, στις συναρτήσεις Bessel που είναι σημαντικές στην κυματική φυσική, και στους υπολογισμούς κάλυψης σήματος κεραίας.
Pi
Απομνημονεύστε το π, το e και 38 μαθηματικές σταθερές με τη μέθοδο διαδρομής στο αριθμητικό πληκτρολόγιο
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.