Wat is de constante van Euler-Mascheroni (γ)?
De harmonische reeks 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ divergeert, maar groeit ongelooflijk langzaam. Na een miljoen termen bereikt deze nauwelijks 14. De natuurlijke logaritme ln(n) groeit in hetzelfde tempo. De constante van Euler-Mascheroni γ is het precieze verschil daartussen: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
Het verschil tussen de harmonische som en ln(n) nadert γ ≈ 0,5772 als n naar oneindig gaat. De convergentie is zeer langzaam: bij n = 1000 is het verschil nog steeds 0,001.
γ verschijnt overal in de analyse en getaltheorie. Het verbindt de harmonische reeks met de Riemann-zètafunctie: formeel geldt γ = -ζ'(1). Het getal verschijnt in de gammafunctie Γ'(1) = -γ, in de verdeling van priemkloven, in Besselfuncties en in de asymptotische expansie van de digammafunctie.
Of γ rationaal of irrationaal is, is een van de oudste open problemen in de wiskunde. Vrijwel elke wiskundige vermoedt dat het getal transcendent is, maar een bewijs ontbreekt. Het is berekend tot meer dan 600 miljard decimalen: 0,57721566490153286060651209008240243…
De harmonische partiële sommen H(n) (rood, trapsgewijs) tegenover ln(n) + γ (blauw, vloeiend). Het verschil daartussen nadert 0: H(n) - ln(n) convergeert naar γ.
De Euler-Mascheroni-constante gamma is ongeveer 0,57721566490153286060. Of het getal rationaal of irrationaal is, is onbekend: een van de beroemdste open problemen in de wiskunde. Euler publiceerde de constante voor het eerst in 1734; Mascheroni berekende haar onafhankelijk in 1790. Gamma verschijnt in de gammafunctie, de Riemann-zètafunctie, de stelling van Mertens over priemproducten, Besselfuncties en de verdeling van priemhiaten. Omdat er geen streamingalgoritme bestaat, worden de cijfers vooraf berekend en opgeslagen.
Euler-Mascheroni-constante γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the limiet van harmonische reeks minus logaritme.
FAQ
-
Wie ontdekte de Euler–Mascheroni-constante?
Leonhard Euler beschreef de constante voor het eerst in 1735 bij het bestuderen van het verschil tussen de harmonische reeks en de natuurlijke logaritme. Lorenzo Mascheroni berekende de constante in 1790 tot meer decimalen en gaf hem het symbool γ. -
Is γ rationaal of irrationaal?
Niemand weet het. Dit is een van de beroemdste open problemen in de wiskunde. Wiskundigen vermoeden sterk dat γ irrationaal is, maar er is nooit een bewijs gevonden ondanks eeuwen van inspanning. De constante is tot meer dan 600 miljard decimalen berekend. -
Wat is de harmonische reeks?
De harmonische reeks is 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... Deze som groeit onbegrensd – bewezen door Nicole d’Oresme rond 1350 – maar groeit zeer langzaam. γ meet het precieze verschil tussen deze som en ln n naarmate n naar oneindig gaat. -
Waarom wordt γ als mysterieuzer beschouwd dan π en e?
π en e hebben bekende meetkundige betekenissen en zijn beide bewezen transcendent. γ ontstaat uit een subtielere vergelijking tussen een discrete som en een continue functie. Zelfs de meest elementaire eigenschap – of het een breuk kan zijn – blijft onopgelost. -
Waar komt γ voor in de wetenschap?
γ komt voor in de verdeling van priemgetallen, in de Riemann-zetafunctie nabij s=1, in de gammafunctie bij gehele waarden, in Besselfuncties die belangrijk zijn voor golfnaturkunde, en in berekeningen van antennesignaaldekking.
Pi
Memoriseer pi, e en 38 wiskundige constanten met de cijfertoetsenbordmethode
Nu spelen - gratisGeen account nodig. Werkt op elk apparaat.