Qu'est-ce que la constante d'Euler-Mascheroni (γ) ?
La série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ diverge, mais elle croît incroyablement lentement. Après un million de termes, elle atteint à peine 14. Le logarithme naturel ln(n) croît au même rythme. La constante d'Euler-Mascheroni γ est l'écart précis entre les deux : γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
The difference between the harmonic sum and ln(n) approaches γ ≈ 0.5772 as n vers ∞. Convergence is very slow - the gap is still 0.001 at n = 1000.
γ apparaît dans toute l'analyse et la théorie des nombres. Elle relie la série harmonique à la fonction zêta de Riemann : γ = -ζ'(1) au sens formel. Elle intervient dans la fonction Gamma Γ'(1) = -γ, dans la distribution des écarts entre nombres premiers, dans les fonctions de Bessel et dans le développement asymptotique de la fonction digamma.
Savoir si γ est rationnel ou irrationnel est l'un des plus anciens problèmes ouverts en mathématiques. Presque tous les mathématiciens pensent qu'il est transcendant, mais aucune preuve n'existe. Il a été calculé à plus de 600 milliards de décimales : 0,57721566490153286060651209008240243…
The harmonic partial sums H(n) (red, stepped) versus ln(n)+γ (blue, smooth). The gap between them approaches 0 but oscillates: H(n)−ln(n) vers γ.
La constante d'Euler-Mascheroni gamma vaut environ 0,57721566490153286060. Savoir si elle est rationnelle ou irrationnelle reste inconnu, c'est l'un des problèmes ouverts les plus célèbres en mathématiques. Euler l'a publiée pour la première fois en 1734 ; Mascheroni l'a calculée indépendamment en 1790. Gamma apparaît dans la fonction Gamma, la fonction zêta de Riemann, le théorème de Mertens sur les produits de nombres premiers, les fonctions de Bessel et la distribution des écarts entre nombres premiers. Comme il n'existe pas d'algorithme de calcul en continu, ses décimales sont pré-calculées et stockées.
Euler-Mascheroni Constant γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the harmonic-logarithm limit.
FAQ
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Qui a découvert la constante d'Euler-Mascheroni ?
Leonhard Euler l'a décrite pour la première fois en 1735 en étudiant la différence entre la série harmonique et le logarithme naturel. Lorenzo Mascheroni l'a calculée avec davantage de décimales en 1790 et lui a attribué le symbole γ. -
γ est-il rationnel ou irrationnel ?
Personne ne le sait. C'est l'un des problèmes ouverts les plus célèbres en mathématiques. Les mathématiciens soupçonnent fortement que γ est irrationnel, mais aucune preuve n'a jamais été trouvée malgré des siècles d'efforts. Il a été calculé à plus de 600 milliards de décimales. -
Qu'est-ce que la série harmonique ?
La série harmonique est 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... Cette somme croît sans limite - prouvé par Nicole d'Oresme vers 1350 - mais croît très lentement. γ mesure l'écart précis entre cette somme et ln n lorsque n tend vers l'infini. -
Pourquoi γ est-il considéré comme mystérieux par rapport à π et e ?
π et e ont des significations géométriques connues et sont tous deux prouvés transcendants. γ provient d'une comparaison plus subtile entre une somme discrète et une fonction continue. Même sa propriété la plus élémentaire - savoir s'il peut être une fraction - reste non résolue. -
Où γ apparaît-il en science ?
γ apparaît dans la distribution des nombres premiers, dans la fonction zêta de Riemann près de s=1, dans la fonction Gamma aux valeurs entières, dans les fonctions de Bessel importantes en physique des ondes, et dans les calculs de couverture de signal d'antenne.
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