ما هو ثابت أويلر-ماسكيروني (γ)؟
المتسلسلة التوافقية 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ تتباعد، لكنها تنمو ببطء شديد. بعد مليون حد بالكاد تصل إلى 14. اللوغاريتم الطبيعي ln(n) ينمو بالمعدل نفسه. ثابت أويلر-ماسكيروني γ هو الفرق الدقيق بينهما: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
الفرق بين المجموع التوافق ي و ln(n) يقترب من γ ≈ 0.5772 عندما n إلى ∞. التقارب بطيء جدًا - الفرق لا يزال 0.001 عند n = 1000.
يظهر γ في جميع أنحاء التحليل الرياضي ونظرية الأعداد. يربط المتسلسلة التوافقية بدالة ريمان زيتا: γ = -ζ'(1) بالمعنى الصوري. يظهر في دالة غاما Γ'(1) = -γ، وفي توزيع الفجوات بين الأعداد الأولية، ودوال بسل، والتمدد التقاربي لدالة الديغاما.
ما إذا كان γ نسبيًا أو غير نسبي هو أحد أقدم المسائل المفتوحة في الرياضيات. يعتقد معظم علماء الرياضيات أنه متسامٍ، لكن لا يوجد برهان على ذلك. حُسب إلى أكثر من 600 مليار خانة عشرية: 0.57721566490153286060651209008240243…
المجاميع الجزئية التوافقية H(n) (أحمر، متدرّج) مقابل ln(n)+γ (أزرق، أملس). الفرق بينهما يقترب من 0 لكنه يتذبذب: H(n)−ln(n) إلى γ.
ثابت أويلر-ماسكيروني γ يساوي تقريبًا 0.57721566490153286060. لا يُعرف ما إذا كان نسبيًا أو غير نسبي، وهي واحدة من أشهر المسائل المفتوحة في الرياضيات. نشره أويلر أولًا عام 1734؛ وحسبه ماسكيروني بشكل مستقل عام 1790. يظهر γ في دالة غاما، ودالة ريمان زيتا، ومبرهنة مرتنز حول جداء الأعداد الأولية، ودوال بسل، وتوزيع الفجوات بين الأعداد الأولية. بما أنه لا توجد خوارزمية تدفقية، فإن خاناته محسوبة مسبقًا ومخزنة.
Euler-Mascheroni Constant γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the harmonic-logarithm limit.
FAQ
-
من اكتشف ثابت أويلر-ماسكيروني؟
وصفه ليونهارد أويلر لأول مرة عام 1735 أثناء دراسة الفرق بين المتسلسلة التوافقية واللوغاريتم الطبيعي. حسبه لورنزو ماسكيروني إلى مزيد من المنازل العشرية عام 1790 وأعطاه الرمز γ. -
هل γ نسبي أم غير نسبي؟
لا أحد يعرف. هذه واحدة من أشهر المسائل المفتوحة في الرياضيات. يعتقد الرياضيون بشدة أن γ غير نسبي، لكن لم يُعثر على برهان رغم قرون من الجهد. حُسب إلى أكثر من 600 مليار منزلة عشرية. -
ما هي المتسلسلة التوافقية؟
المتسلسلة التوافقية هي 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... هذا المجموع ينمو بلا حدود — أثبته نيكول دوريم حوالي 1350 م — لكنه ينمو ببطء شديد. يقيس γ الفجوة الدقيقة بين هذا المجموع وln n مع اقتراب n من اللانهاية. -
لماذا يُعتبر γ غامضًا مقارنةً بـ π وe؟
لـ π وe معانٍ هندسية معروفة وكلاهما مُثبت أنه متعالٍ. ينشأ γ من مقارنة أدق بين مجموع منفصل ودالة متصلة. حتى أبسط خاصية له — هل يمكن أن يكون كسرًا — لا تزال دون حل. -
أين يظهر γ في العلوم؟
يظهر γ في توزيع الأعداد الأولية، وفي دالة زيتا لريمان بالقرب من s=1، وفي دالة غاما عند القيم الصحيحة، وفي دوال بيسل المهمة في فيزياء الموجات، وفي حسابات تغطية إشارة الهوائي.
Pi
احفظ باي وe و38 ثابتًا رياضيًا بطريقة المسار على لوحة الأرقام
العب الآن - مجاناًلا حاجة لحساب. يعمل على أي جهاز.