O que é a Constante de Euler-Mascheroni (γ)?
A série harmónica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ diverge, mas cresce incrivelmente devagar. Após um milhão de termos mal chega a 14. O logaritmo natural ln(n) cresce à mesma taxa. A constante de Euler-Mascheroni γ é a diferença exata entre ambos: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
A diferença entre a soma harmónica e ln(n) aproxima-se de γ ≈ 0,5772 quando n para ∞. A convergência é muito lenta - a diferença ainda é 0,001 em n = 1000.
γ aparece por toda a análise e teoria dos números. Liga a série harmónica à função zeta de Riemann: γ = -ζ'(1) num sentido formal. Surge na função Gama Γ'(1) = -γ, na distribuição dos intervalos entre primos, em funções de Bessel e na expansão assintótica da função digama.
Saber se γ é racional ou irracional é um dos problemas abertos mais antigos da matemática. Quase todos os matemáticos acreditam que é transcendente, mas não existe demonstração. Foi calculada a mais de 600 mil milhões de casas decimais: 0.57721566490153286060651209008240243…
As somas parciais harmónicas H(n) (vermelho, em degraus) versus ln(n)+γ (azul, suave). A diferença entre elas aproxima-se de 0, mas oscila: H(n)−ln(n) para γ.
A constante de Euler-Mascheroni gamma é aproximadamente 0,57721566490153286060. Continua desconhecido se é racional ou irracional, um dos problemas abertos mais famosos da matemática. Euler publicou-a pela primeira vez em 1734; Mascheroni calculou-a independentemente em 1790. Gamma aparece na função Gama, na função zeta de Riemann, no teorema de Mertens sobre produtos de primos, em funções de Bessel e na distribuição dos intervalos entre primos. Como não existe algoritmo de streaming, os seus dígitos são pré-computados e armazenados.
Euler-Mascheroni Constant γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the harmonic-logarithm limit.
FAQ
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Quem descobriu a constante de Euler-Mascheroni?
Leonhard Euler a descreveu pela primeira vez em 1735 ao estudar a diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural. Lorenzo Mascheroni a calculou com mais casas decimais em 1790 e lhe atribuiu o símbolo γ. -
γ é racional ou irracional?
Ninguém sabe. Este é um dos problemas abertos mais famosos da matemática. Matemáticos suspeitam fortemente que γ é irracional, mas nenhuma prova foi encontrada apesar de séculos de esforço. Já foi calculada com mais de 600 bilhões de casas decimais. -
O que é a série harmônica?
A série harmônica é 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... Esta soma cresce sem limite — provado por Nicole d’Oresme por volta de 1350 d.C. — mas cresce muito lentamente. γ mede a lacuna exata entre esta soma e ln n conforme n tende ao infinito. -
Por que γ é considerada misteriosa em comparação com π e e?
π e e têm significados geométricos conhecidos e ambos são comprovadamente transcendentes. γ surge de uma comparação mais sutil entre uma soma discreta e uma função contínua. Até sua propriedade mais básica — se pode ser uma fração — permanece sem solução. -
Onde γ aparece na ciência?
γ aparece na distribuição dos números primos, na função zeta de Riemann próximo a s=1, na função Gama em valores inteiros, nas funções de Bessel importantes para a física de ondas e em cálculos de cobertura de sinal de antenas.
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