Что такое константа Эйлера - Маскерони (γ)?
Гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ расходится, но растёт невероятно медленно. После миллиона членов он едва достигает 14. Натуральный логарифм ln(n) растёт с той же скоростью. Константа Эйлера - Маскерони γ - это в точности расстояние между ними: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
Разность между гармонической суммой и ln(n) при n в ∞ стремится к числу γ ≈ 0,5772. Сходимость очень медленная: при n = 1000 зазор всё ещё составляет около 0,001.
γ возникает во многих местах анализа и теории чисел. Она связывает гармонический ряд с функцией Римана ζ: формально γ = -ζ′(1). Она появляется в гамма-функции через Γ′(1) = -γ, в распределении промежутков между простыми числами, в функциях Бесселя и в асимптотике дигамма-функции.
Вопрос о том, рациональна γ или иррациональна, относится к старейшим открытым проблемам математики. Почти все математики считают её трансцендентной, но доказательства нет. Её вычислили более чем до 600 миллиардов десятичных знаков: 0,57721566490153286060651209008240243…
Гармонические частичные суммы H(n), красные и ступенчатые, сравниваются с ln(n)+γ, синей гладкой кривой. Расстояние между ними стремится к 0, но колеблется: H(n)−ln(n) в γ.
Константа Эйлера - Маскерони γ примерно равна 0,57721566490153286060. Неизвестно, рациональна она или иррациональна; это один из самых знаменитых открытых вопросов математики. Эйлер впервые опубликовал её в 1734 году, Маскерони независимо вычислил её снова в 1790-м. γ появляется в гамма-функции, в функции Римана ζ, в теореме Мертенса о произведениях по простым, в функциях Бесселя и в распределении промежутков между простыми. Поскольку потокового алгоритма для её цифр не известно, её десятичные знаки предварительно вычисляют и хранят.
Euler-Mascheroni Constant γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the harmonic-logarithm limit.
FAQ
-
Кто открыл постоянную Эйлера–Маскерони?
Леонард Эйлер впервые описал её в 1735 году, изучая разницу между гармоническим рядом и натуральным логарифмом. Лоренцо Маскерони вычислил её с большей точностью в 1790 году и присвоил ей символ γ. -
Является ли γ рациональным или иррациональным?
Никто не знает. Это одна из самых известных открытых проблем в математике. Математики сильно подозревают, что γ иррационально, но доказательство так и не найдено, несмотря на вековые усилия. Оно вычислено до более чем 600 миллиардов десятичных знаков. -
Что такое гармонический ряд?
Гармонический ряд — это 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... Эта сумма растёт без ограничения — это доказал Николь д'Орезм ок. 1350 года — но растёт очень медленно. γ измеряет точный разрыв между этой суммой и ln n при стремлении n к бесконечности. -
Почему γ считается загадочной по сравнению с π и e?
У π и e есть известные геометрические значения, и оба доказанно трансцендентны. γ возникает из более тонкого сравнения дискретной суммы и непрерывной функции. Даже самое базовое свойство — может ли оно быть дробью — остаётся нерешённым. -
Где γ появляется в науке?
γ встречается в распределении простых чисел, в дзета-функции Римана вблизи s=1, в гамма-функции при целых значениях, в функциях Бесселя, важных для физики волн, а также в расчётах зоны покрытия антенн.
Pi
Запоминайте пи, e и 38 математических констант методом пути по цифровой клавиатуре
Играть сейчас - бесплатноБез регистрации. Работает на любом устройстве.