Czym jest złoty podział (φ)?
φ (phi) jest dodatnim rozwiązaniem równania x² = x + 1. To równanie ma sens geometryczny: jeśli podzielisz odcinek tak, by stosunek całości do dłuższej części był równy stosunkowi dłuższej części do krótszej, to ten stosunek jest równy φ. Żadna inna liczba nie ma tej samopodobnej własności.
| Para Fib. | Iloraz | Odległość od φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1,000 | 0,618 |
| 2, 3 | 1,500 | 0,118 |
| 8, 13 | 1,625 | 0,007 |
| 55, 89 | 1,61818… | 0,00015 |
| do ∞ | 1,61803… | 0 |
Złoty podział pojawia się w regularnym pięciokącie i pentagramie, gdzie przekątne przecinają się w stosunku złotym. Każda liczba Fibonacciego podzielona przez poprzednią dąży do φ. Ułamek łańcuchowy [1; 1, 1, 1, …] jest najprostszym nieskończonym ułamkiem łańcuchowym: same jedynki. To sprawia, że φ jest najtrudniejszą liczbą do przybliżania ułamkami, stąd określenie „najbardziej niewymierna liczba”.
Wytnij kwadrat ze złotego prostokąta. Pozostała część jest kolejnym złotym prostokątem, mniejszym w skali 1/φ. Powtarzaj w nieskończoność. Łuk wyznacza złotą spiralę widoczną w muszlach i galaktykach.
φ spełnia φ² = φ + 1, więc φ = 1 + 1/φ. Podstawiając to wielokrotnie, dostajemy: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Ten nieskończony ułamek łańcuchowy z samych jedynek jest zarówno definicją, jak i powodem statusu „najbardziej niewymiernej” liczby. Wartość obliczona z pełną precyzją: 1,61803398874989484820…
W regularnym pięciokącie o boku długości 1 każda przekątna ma długość φ ≈ 1,618. Przekątne dzielą się też nawzajem w złotym podziale. Gdy narysujesz wszystkie pięć przekątnych, otrzymasz pentagram pełen złotych proporcji.
Złoty podział phi jest równy w przybliżeniu 1,61803398874989484820. Jest dodatnim rozwiązaniem równania x² = x + 1. Phi jest liczbą niewymierną, algebraiczną i granicznym ilorazem kolejnych liczb Fibonacciego. Pojawia się w regularnym pięciokącie i dwudziestościanie, w spiralach nasion słonecznika oraz w proporcjach badanych od starożytnej Grecji. Jego ułamek łańcuchowy [1; 1, 1, 1, ...] sprawia, że jest najtrudniejszą liczbą rzeczywistą do przybliżania ułamkami, dlatego filotaksja wykorzystuje złoty kąt wyprowadzony z phi.
Złoty podział φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the wzór kwadratowy.
FAQ
-
Ile wynosi 1/φ?
1/φ = φ − 1 = 0,61803... Phi jest jedyną dodatnią liczbą, której odwrotność jest równa jej samej minus jeden. Oznacza to również, że φ² = φ + 1, więc złoty prostokąt można w nieskończoność dzielić na kwadrat i mniejszy złoty prostokąt. -
Kto odkrył złoty stosunek?
Euklides z Aleksandrii opisał go w swoich Elementach (~300 p.n.e.) jako podział odcinka w skrajnym i średnim stosunku. Termin «złoty stosunek» ukuł niemiecki matematyk Martin Ohm w 1835 roku. Grecką literę φ wybrał na początku XX wieku matematyk Mark Barr. -
Kiedy powiązano liczby Fibonacciego z φ?
Leonardo z Pizy (Fibonacci) opublikował swój słynny ciąg w 1202 roku w celu modelowania rozmnażania królików. Johannes Kepler explicite zauważył w 1611 roku, że stosunek kolejnych liczb Fibonacciego zbiega do φ. -
Czy złoty stosunek rzeczywiście występuje w słynnych dziełach sztuki i budowlach?
Dowody są mieszane i często przesadzone. Wiele rzekomych wystąpień w Partenonie czy malarstwie renesansowym wymaga wybiórczego doboru wymiarów. Matematyk George Markowsky opublikował gruntowne obalenie tych twierdzeń w 1992 roku, choć autentyczne wystąpienia w przyrodzie są dobrze udokumentowane. -
Dlaczego φ nazywa się najbardziej niewymierną liczbą?
φ = [1;1,1,1,...] w zapisie ułamka łańcuchowego - same jedynki - co czyni ją ułamkiem łańcuchowym o najwolniejszej zbieżności. Przybliżenia wymierne zbiegają do φ wolniej niż do jakiejkolwiek innej liczby niewymiernej. -
Czy złoty stosunek jest niewymierny?
Tak. φ spełnia równanie x² = x + 1. Starożytni Grecy wiedzieli, że jest niewymierna. W odróżnieniu od π i e, które są przestępne, φ jest algebraiczna - jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Pi
Zapamiętaj pi, e i 38 stałych matematycznych metodą ścieżki na klawiaturze numerycznej
Zagraj teraz - za darmoBez konta. Działa na każdym urządzeniu.