Що таке золотий перетин (φ)?
φ (фі) - це додатний розв'язок x² = x + 1. Це рівняння має геометричний зміст: якщо ви ділите відрізок так, що відношення цілого до довшої частини дорівнює відношенню довшої частини до коротшої, то це відношення є φ. Жодне інше число не має цієї самоподібної властивості.
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| до ∞ | 1.61803… | 0 |
Золотий перетин з'являється в правильному п'ятикутнику та пентаграмі, де діагоналі перетинають одна одну в золотому перетині. Кожне число Фібоначчі, поділене на попереднє, наближається до φ. Ланцюговий дріб [1; 1, 1, 1, …] - це найпростіший нескінченний ланцюговий дріб: усі одиниці. Це робить φ найважчим числом для наближення дробами, що дає йому звання "найбільш ірраціонального числа".
Cut a square from a golden rectangle. The remaining piece is another golden rectangle, smaller by factor 1/φ. Repeat forever. The arc traces the golden spiral seen in shells and galaxies.
φ задовольняє φ² = φ + 1, тож φ = 1 + 1/φ. Підставляючи багаторазово: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Цей нескінченний ланцюговий дріб з самих одиниць є водночас означенням і причиною його статусу "найбільш ірраціонального". Обчислено з повною точністю: 1.61803398874989484820…
In a regular pentagon with side length 1, every diagonal has length φ ≈ 1.618. The diagonals also divide each other in the golden ratio. Draw all five diagonals and you get a pentagram: itself full of golden proportions.
Золотий перетин phi приблизно дорівнює 1.61803398874989484820. Це додатний розв'язок x² = x + 1. Phi ірраціональний, алгебраїчний і є граничним відношенням сусідніх чисел Фібоначчі. Він з'являється в правильному п'ятикутнику та ікосаедрі, у спіралях насіння соняшника та в пропорціях, які вивчають із часів Стародавньої Греції. Його ланцюговий дріб [1; 1, 1, 1, ...] робить його найважчим дійсним числом для наближення дробами, ось чому філотаксис використовує золотий кут, виведений із phi.
Золотий перетин φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the формула квадратного рівняння.
FAQ
-
Що таке 1/phi?
1/phi = phi - 1 = 0.61803... Фі · єдине додатне число, де його обернене значення дорівнює самому числу мінус один. Це також означає, що phi^2 = phi + 1, тому золотий прямокутник можна нескінченно ділити на квадрат і менший золотий прямокутник. -
Хто відкрив золотий перетин?
Евклід Александрійський описав його у своїх «Началах» (~300 до н.е.) як крайній і середній відношення. Термін «золотий перетин» був запровадений німецьким математиком Мартином Омом у 1835 році. Грецька літера \u03C6 була обрана на початку 20-го століття математиком Марком Барром. -
Коли числа Фібоначчі були пов'язані з \u03C6?
Леонардо Пізанський (Фібоначчі) опублікував свою знамениту послідовність у 1202 році для моделювання популяцій кролів. Йоганн Кеплер чітко зазначив у 1611 році, що відношення послідовних чисел Фібоначчі наближається до \u03C6. -
Чи дійсно золотий перетин зустрічається у відомих творах мистецтва та будівлях?
Докази неоднозначні та часто перебільшені. Багато заявлених згадок у Парфеноні або картинах епохи Відродження вимагають вибіркового вибору вимірювань. Математик Джордж Марковський опублікував ґрунтовне спростування у 1992 році, хоча справжні прояви в природі добре задокументовані. -
Чому \u03C6 називають найбільш ірраціональним числом?
\u03C6 = [1;1,1,1,...] у формі безперервного дробу · всі одиниці · що робить його найповільніше збіжним безперервним дробом. Раціональні наближення збігаються повільніше до \u03C6, ніж до будь-якого іншого ірраціонального числа. -
Чи є золотий перетин ірраціональним?
Так. \u03C6 задовольняє рівняння x^2 = x + 1. Стародавні греки знали, що воно ірраціональне. На відміну від \u03C0 та e, які є трансцендентними, \u03C6 є алгебраїчним · коренем полінома з цілими коефіцієнтами.
Pi
Запам'ятовуйте пі, e та 38 математичних констант методом шляху цифровою клавіатурою
Грати зараз - безкоштовноБез реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.