Τι είναι η χρυσή τομή (φ);
Η φ (φι) είναι η θετική λύση της x² = x + 1. Αυτή η εξίσωση έχει γεωμετρική σημασία: αν διαιρέσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα έτσι ώστε ο λόγος του όλου προς το μεγαλύτερο μέρος να ισούται με τον λόγο του μεγαλύτερου μέρους προς το μικρότερο, αυτός ο λόγος είναι η φ. Κανένας άλλος αριθμός δεν έχει αυτή την αυτοόμοια ιδιότητα.
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| προς ∞ | 1.61803… | 0 |
Η χρυσή τομή εμφανίζεται στο κανονικό πεντάγωνο και το πεντάγραμμο, όπου οι διαγώνιοι τέμνονται μεταξύ τους στη χρυσή τομή. Κάθε αριθμός Fibonacci διαιρεμένος με τον προηγούμενο πλησιάζει τη φ. Το συνεχές κλάσμα [1; 1, 1, 1, …] είναι το απλούστερο άπειρο συνεχές κλάσμα: όλα 1. Αυτό κάνει τη φ τον πιο δύσκολο αριθμό για προσέγγιση με κλάσματα, κερδίζοντάς της τον τίτλο «πιο άρρητος αριθμός».
Cut a square from a golden rectangle. The remaining piece is another golden rectangle, smaller by factor 1/φ. Repeat forever. The arc traces the golden spiral seen in shells and galaxies.
Η φ ικανοποιεί την φ² = φ + 1, οπότε φ = 1 + 1/φ. Αντικαθιστώντας επανειλημμένα: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Αυτό το άπειρο συνεχές κλάσμα από όλα 1 είναι ταυτόχρονα ο ορισμός και ο λόγος για το καθεστώς της ως «πιο άρρητη». Υπολογισμένη σε πλήρη ακρίβεια: 1.61803398874989484820…
In a regular pentagon with side length 1, every diagonal has length φ ≈ 1.618. The diagonals also divide each other in the golden ratio. Draw all five diagonals and you get a pentagram: itself full of golden proportions.
Η χρυσή τομή phi είναι περίπου 1.61803398874989484820. Είναι η θετική λύση της x² = x + 1. Η phi είναι άρρητη, αλγεβρική, και ο οριακός λόγος διαδοχικών αριθμών Fibonacci. Εμφανίζεται στο κανονικό πεντάγωνο και στο εικοσάεδρο, στις σπείρες σπόρων ηλιοτροπίου, και στις αναλογίες που μελετώνται από την αρχαία Ελλάδα. Το συνεχές της κλάσμα [1; 1, 1, 1, ...] την κάνει τον πιο δύσκολο πραγματικό αριθμό για προσέγγιση με κλάσματα, γι' αυτό η φυλλοταξία χρησιμοποιεί τη χρυσή γωνία που προκύπτει από τη phi.
Χρυσή τομή φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the τετραγωνικός τύπος.
FAQ
-
Τι είναι το 1/phi;
1/phi = phi - 1 = 0.61803... Το Phi είναι ο μόνος θετικός αριθμός όπου το αντίστροφό του ισούται με τον εαυτό του μείον ένα. Αυτό σημαίνει επίσης ότι phi^2 = phi + 1, οπότε ένα χρυσό ορθογώνιο μπορεί να χωριστεί σε ένα τετράγωνο και ένα μικρότερο χρυσό ορθογώνιο για πάντα. -
Ποιος ανακάλυψε τη χρυσή τομή;
Ο Ευκλείδης της Αλεξάνδρειας την περιέγραψε στα Στοιχεία του (~300 π.Χ.) ως την άκρα και μέση αναλογία. Ο όρος χρυσή τομή δημιουργήθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Μάρτιν Ομ το 1835. Το ελληνικό γράμμα \u03C6 επιλέχθηκε στις αρχές του 20ού αιώνα από τον μαθηματικό Μαρκ Μπαρ. -
Πότε συνδέθηκαν οι αριθμοί Fibonacci με το \u03C6;
Ο Λεονάρντος της Πίζας (Fibonacci) δημοσίευσε τη φησιμη ακολουθία του το 1202 για να μοντελοποιήσει πληθυσμούς κουνελιών. Ο Γιόχαννες Κέπλερ σημείωσε ρητά το 1611 ότι ο λόγος διαδοχικών αριθμών Fibonacci πλησιάζει το \u03C6. -
Βρίσκεται πραγματικά η χρυσή τομή σε γνωστά έργα τέχνης και κτίρια;
Τα στοιχεία είναι ανάμικτα και συχνά υπερβολικά παρουσιασμένα. Πολλές ισχυρισμένες εμφανίσεις στον Παρθενώνα ή σε αναγεννησιακούς πίνακες απαιτούν επιλεκτική επιλογή μετρήσεων. Ο μαθηματικός Τζορτζ Μάρκοφσκη δημοσίευσε μια εκτεταμένη απομυθοποίηση το 1992, αν και οι αυθεντικές εμφανίσεις στη φύση είναι καλά τεκμηριωμένες. -
Γιατί το \u03C6 ονομάζεται ο πιο άρρητος αριθμός;
\u03C6 = [1;1,1,1,...] σε μορφή συνεχούς κλάσματος - όλα 1 - καθιστώντας τον τον βραδύτερα συγκλίνοντα συνεχή κλάσμα. Οι ρητές προσεγγίσεις συγκλίνουν πιο αργά στο \u03C6 από οποιονδήποτε άλλο άρρητο αριθμό. -
Είναι η χρυσή τομή άρρητος;
Ναι. Το \u03C6 ικανοποιεί την x^2 = x + 1. Οι αρχαίοι Έλληνες ήξεραν ότι ήταν άρρητος. Σε αντίθεση με το \u03C0 και το e που είναι μεταβατικά, το \u03C6 είναι αλγεβρικός - μια ρίζα ενωμένου πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές.
Pi
Απομνημονεύστε το π, το e και 38 μαθηματικές σταθερές με τη μέθοδο διαδρομής στο αριθμητικό πληκτρολόγιο
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.