Was ist der goldene Schnitt (φ)?
φ, gesprochen Phi, ist die positive Lösung der Gleichung x² = x + 1. Diese Gleichung besitzt eine geometrische Bedeutung: Teilt man eine Strecke so, dass sich die ganze Strecke zum längeren Teil verhält wie der längere Teil zum kürzeren, dann ist dieses Verhältnis φ. Keine andere Zahl besitzt genau diese Selbstähnlichkeit.
| Fib-Paar | Quotient | Abstand zu φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1,000 | 0,618 |
| 2, 3 | 1,500 | 0,118 |
| 8, 13 | 1,625 | 0,007 |
| 55, 89 | 1,61818… | 0,00015 |
| zu ∞ | 1,61803… | 0 |
Der goldene Schnitt erscheint im regelmäßigen Fünfeck und im Pentagramm, wo sich die Diagonalen im Verhältnis φ teilen. Jede Fibonacci-Zahl, dividiert durch ihre Vorgängerin, nähert sich φ an. Der Kettenbruch [1; 1, 1, 1, …] ist der einfachste unendliche Kettenbruch überhaupt, er besteht nur aus Einsen. Dadurch ist φ die am schwersten durch Brüche approximierbare Zahl und verdient den Titel der „irrationalsten“ Zahl.
Schneidet man aus einem goldenen Rechteck ein Quadrat aus, bleibt ein kleineres goldenes Rechteck übrig, skaliert mit dem Faktor 1/φ. Wiederholt man das endlos, zeichnet der Bogen die goldene Spirale, wie man sie in Muscheln und Galaxien sieht.
φ erfüllt φ² = φ + 1, also auch φ = 1 + 1/φ. Setzt man dies immer wieder ein, erhält man φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Dieser unendliche Kettenbruch aus lauter Einsen ist sowohl Definition als auch Grund für seinen Ruf als „irrationalste“ Zahl. Voller Wert: 1,61803398874989484820…
In einem regelmäßigen Fünfeck mit Seitenlänge 1 hat jede Diagonale die Länge φ ≈ 1,618. Die Diagonalen teilen sich außerdem gegenseitig im goldenen Schnitt. Zeichnet man alle fünf Diagonalen, entsteht ein Pentagramm voller goldener Proportionen.
Der goldene Schnitt φ ist ungefähr 1,61803398874989484820. Er ist die positive Lösung von x² = x + 1. φ ist irrational, algebraisch und der Grenzwert der Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen. Er erscheint im regelmäßigen Fünfeck und Ikosaeder, in Spiralmustern von Sonnenblumenkernen und in Proportionen, die seit der Antike untersucht werden. Sein Kettenbruch [1; 1, 1, 1, ...] macht ihn zur am schlechtesten durch Brüche approximierbaren reellen Zahl. Genau deshalb verwendet die Phyllotaxis den aus φ abgeleiteten goldenen Winkel.
Golden Ratio φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the quadratic formula.
FAQ
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Was ist 1/Phi?
1/Phi = Phi - 1 = 0,61803... Phi ist die einzige positive Zahl, deren Kehrwert gleich ihr selbst minus eins ist. Das bedeutet auch, dass Phi^2 = Phi + 1 gilt, sodass ein goldenes Rechteck endlos in ein Quadrat und ein kleineres goldenes Rechteck unterteilt werden kann. -
Wer hat den Goldenen Schnitt entdeckt?
Euklid von Alexandria beschrieb ihn in seinen Elementen (~300 v. Chr.) als stetige Teilung. Der Begriff Goldener Schnitt wurde 1835 vom deutschen Mathematiker Martin Ohm geprägt. Der griechische Buchstabe φ wurde Anfang des 20. Jahrhunderts vom Mathematiker Mark Barr gewählt. -
Wann wurden die Fibonacci-Zahlen mit φ in Verbindung gebracht?
Leonardo von Pisa (Fibonacci) veröffentlichte seine berühmte Folge 1202, um die Vermehrung von Kaninchen zu modellieren. Johannes Kepler stellte 1611 ausdrücklich fest, dass sich das Verhältnis aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen φ annähert. -
Findet sich der Goldene Schnitt wirklich in berühmten Kunstwerken und Gebäuden?
Die Belege sind gemischt und oft übertrieben. Viele behauptete Vorkommen im Parthenon oder in Gemälden der Renaissance erfordern eine selektive Auswahl von Maßen. Der Mathematiker George Markowsky veröffentlichte 1992 eine gründliche Widerlegung, obwohl echte Vorkommen in der Natur gut dokumentiert sind. -
Warum wird φ die irrationalste Zahl genannt?
φ = [1;1,1,1,...] in Kettenbruchdarstellung - alles Einsen - was sie zum am langsamsten konvergierenden Kettenbruch macht. Rationale Näherungen konvergieren langsamer gegen φ als gegen jede andere irrationale Zahl. -
Ist der Goldene Schnitt irrational?
Ja. φ erfüllt x^2 = x + 1. Die alten Griechen wussten bereits, dass er irrational ist. Im Gegensatz zu π und e, die transzendent sind, ist φ algebraisch - eine Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten.
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