Ce este numărul de aur (φ)?
φ (phi) este soluția pozitivă a x² = x + 1. Această ecuație are un sens geometric: dacă împarți un segment de dreaptă astfel încât raportul întregului față de partea mai lungă să fie egal cu raportul părții mai lungi față de partea mai scurtă, acel raport este φ. Niciun alt număr nu are această proprietate autosimilară.
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| spre ∞ | 1.61803… | 0 |
Numărul de aur apare în pentagonul regulat și în pentagramă, unde diagonalele se intersectează între ele în numărul de aur. Fiecare număr Fibonacci împărțit la cel precedent se apropie de φ. Fracția continuă [1; 1, 1, 1, …] este cea mai simplă fracție continuă infinită: toate 1. Acest lucru face ca φ să fie cel mai greu număr de aproximat prin fracții, câștigându-i titlul de "cel mai irațional număr".
Cut a square from a golden rectangle. The remaining piece is another golden rectangle, smaller by factor 1/φ. Repeat forever. The arc traces the golden spiral seen in shells and galaxies.
φ satisface φ² = φ + 1, deci φ = 1 + 1/φ. Substituind repetat: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Această fracție continuă infinită formată numai din 1 este atât definiția cât și motivul statutului său de "cel mai irațional". Calculat la precizie completă: 1.61803398874989484820…
In a regular pentagon with side length 1, every diagonal has length φ ≈ 1.618. The diagonals also divide each other in the golden ratio. Draw all five diagonals and you get a pentagram: itself full of golden proportions.
Numărul de aur phi este aproximativ 1.61803398874989484820. Este soluția pozitivă a x² = x + 1. Phi este irațional, algebric și raportul limită al numerelor Fibonacci consecutive. Apare în pentagonul regulat și în icosaedru, în spiralele de semințe de floarea-soarelui și în proporțiile studiate încă din Grecia antică. Fracția sa continuă [1; 1, 1, 1, ...] îl face cel mai greu număr real de aproximat cu fracții, motiv pentru care filotaxia folosește unghiul de aur derivat din phi.
Numărul de aur φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the formula de gradul al doilea.
FAQ
-
Ce este 1/phi?
1/phi = phi - 1 = 0.61803... Phi este singurul număr pozitiv al cărui reciprocul este egal cu el însuși minus unul. Aceasta înseamnă, de asemenea, că phi^2 = phi + 1, astfel că un dreptunghi auriu poate fi împărțit în pătrat și un dreptunghi auriu mai mic la infinit. -
Cine a descoperit raportul auriu?
Euclid din Alexandria l-a descris în Elementele sale (~300 î.Hr.) ca raportul extrem și mediu. Termenul „raport auriu” a fost inventat de matematicianul german Martin Ohm în 1835. Litera grecească \u03C6 a fost aleasă la începutul secolului al XX-lea de matematicianul Mark Barr. -
Când au fost legate numerele Fibonacci de \u03C6?
Leonardo din Pisa (Fibonacci) și-a publicat secvența faimoasă în 1202 pentru a modela populațiile de iepuri. Johannes Kepler a observat în mod explicit în 1611 că raportul numerelor Fibonacci consecutive se apropie de \u03C6. -
Se găsește cu adevărat raportul auriu în operele de artă și clădirile faimoase?
Dovezile sunt mixte și adesea exagerate. Multe apariții pretinse în Partenon sau în picturile renascentiste necesită alegerea selectivă a măsurătorilor. Matematicianul George Markowsky a publicat o demontare amănunțită în 1992, deși aparițiile reale în natură sunt bine documentate. -
De ce este \u03C6 numit cel mai irațional număr?
\u03C6 = [1;1,1,1,...] în formă de fracție continuă - toate 1 - făcând-o fracția continuă cu cea mai lentă convergență. Aproximările raționale converg mai lent spre \u03C6 decât spre orice alt număr irațional. -
Este raportul auriu irațional?
Da. \u03C6 satisface x^2 = x + 1. Grecii antici știau că este irațional. Spre deosebire de \u03C0 și e, care sunt transcendente, \u03C6 este algebric - o rădăcină a unui polinom cu coeficienți întregi.
Pi
Memorează pi, e și 38 de constante matematice cu metoda traseului pe tastatura numerică
Joacă acum - e gratisFără cont. Funcționează pe orice dispozitiv.