Qu'est-ce que le nombre d'or (φ) ?
φ (phi) est la solution positive de x² = x + 1. Cette equation a une signification geometrique : si l'on divise un segment de sorte que le rapport du tout a la plus grande partie soit egal au rapport de la plus grande partie a la plus petite, ce rapport est φ. Aucun autre nombre ne possede cette propriete d'autosimilarite.
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| vers ∞ | 1.61803… | 0 |
Le nombre d'or apparait dans le pentagone regulier et le pentagramme, ou les diagonales se coupent dans le rapport dore. Chaque nombre de Fibonacci divise par le precedent tend vers φ. La fraction continue [1; 1, 1, 1, …] est la plus simple fraction continue infinie : que des 1. Cela fait de φ le nombre le plus difficile a approcher par des fractions, lui valant le titre de « nombre le plus irrationnel ».
Cut a square from a golden rectangle. The remaining piece is another golden rectangle, smaller by factor 1/φ. Repeat forever. The arc traces the golden spiral seen in shells and galaxies.
φ satisfait φ² = φ + 1, donc φ = 1 + 1/φ. En substituant de facon repetee : φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Cette fraction continue infinie composee uniquement de 1 est a la fois la definition et la raison de son statut de « nombre le plus irrationnel ». Calcule en precision complete : 1,61803398874989484820…
In a regular pentagon with side length 1, every diagonal has length φ ≈ 1.618. The diagonals also divide each other in the golden ratio. Draw all five diagonals and you get a pentagram: itself full of golden proportions.
Le nombre d'or phi vaut environ 1,61803398874989484820. C'est la solution positive de x² = x + 1. Phi est irrationnel, algebrique, et la limite du rapport de deux nombres de Fibonacci consecutifs. Il apparait dans le pentagone regulier et l'icosaedre, dans les spirales des graines de tournesol, et dans les proportions etudiees depuis la Grece antique. Sa fraction continue [1; 1, 1, 1, ...] en fait le nombre reel le plus difficile a approcher par des fractions, c'est pourquoi la phyllotaxie utilise l'angle d'or derive de phi.
Golden Ratio φ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the quadratic formula.
FAQ
-
Que vaut 1/phi ?
1/phi = phi - 1 = 0,61803... Phi est le seul nombre positif dont l'inverse est égal à lui-même moins un. Cela signifie aussi que phi^2 = phi + 1, de sorte qu'un rectangle d'or peut être divisé indéfiniment en un carré et un plus petit rectangle d'or. -
Qui a découvert le nombre d'or ?
Euclide d'Alexandrie l'a décrit dans ses Éléments (~300 av. J.-C.) comme le rapport extrême et moyen. Le terme nombre d'or a été inventé par le mathématicien allemand Martin Ohm en 1835. La lettre grecque φ a été choisie au début du XXe siècle par le mathématicien Mark Barr. -
Quand les nombres de Fibonacci ont-ils été reliés à φ ?
Léonard de Pise (Fibonacci) a publié sa célèbre suite en 1202 pour modéliser les populations de lapins. Johannes Kepler a explicitement noté en 1611 que le rapport de deux nombres de Fibonacci consécutifs tend vers φ. -
Le nombre d'or est-il vraiment présent dans les œuvres d'art et bâtiments célèbres ?
Les preuves sont mitigées et souvent exagérées. De nombreuses apparitions supposées dans le Parthénon ou les peintures de la Renaissance nécessitent de choisir les mesures de manière sélective. Le mathématicien George Markowsky a publié une réfutation approfondie en 1992, bien que ses apparitions authentiques dans la nature soient bien documentées. -
Pourquoi φ est-il appelé le nombre le plus irrationnel ?
φ = [1;1,1,1,...] sous forme de fraction continue - que des 1 - ce qui en fait la fraction continue à convergence la plus lente. Les approximations rationnelles convergent plus lentement vers φ que vers tout autre nombre irrationnel. -
Le nombre d'or est-il irrationnel ?
Oui. φ satisfait x^2 = x + 1. Les anciens Grecs savaient qu'il était irrationnel. Contrairement à π et e qui sont transcendants, φ est algébrique - racine d'un polynôme à coefficients entiers.
Pi
Mémorise pi, e et 38 constantes mathématiques avec la méthode du pavé numérique
Jouer maintenant - c'est gratuitAucun compte nécessaire. Fonctionne sur tout appareil.