Vad är det gyllene snittet (φ)?
φ (phi) är den positiva lösningen till x² = x + 1. Denna ekvation har en geometrisk innebörd: om du delar ett linjesegment så att förhållandet mellan helheten och den längre delen är lika med förhållandet mellan den längre delen och den kortare delen, är detta förhållande φ. Inget annat tal har denna självlikartade egenskap.
| Fib pair | ratio | distance to φ |
|---|---|---|
| 1, 1 | 1.000 | 0.618 |
| 2, 3 | 1.500 | 0.118 |
| 8, 13 | 1.625 | 0.007 |
| 55, 89 | 1.61818… | 0.00015 |
| till ∞ | 1.61803… | 0 |
Det gyllene snittet förekommer i den reguljära pentagonen och pentagrammet, där diagonalerna skär varandra i det gyllene snittet. Varje Fibonaccital dividerat med det föregående approximerar φ. Kedjebråket [1; 1, 1, 1, …] är det enklaste oändliga kedjebråket: enbart ettor. Det gör φ till det tal som är svårast att approximera med bråk, vilket ger det titeln "det mest irrationella talet".
Klipp ut en kvadrat från en gyllene rektangel. Den återstående delen är en ny gyllene rektangel, mindre med faktorn 1/φ. Upprepa i det oändliga. Bågarna bildar den gyllene spiral som ses i snäckskal och galaxer.
φ uppfyller φ² = φ + 1, alltså φ = 1 + 1/φ. Upprepad substitution ger: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Detta oändliga kedjebråk av enbart ettor är både definitionen och förklaringen till dess "mest irrationella" status. Beräknat med full precision: 1,61803398874989484820…
I en reguljär pentagon med sidelängd 1 har varje diagonal längden φ ≈ 1,618. Diagonalerna delar också varandra i det gyllene snittet. Rita alla fem diagonaler och du får ett pentagram: i sig fullt av gyllene proportioner.
Det gyllene snittet phi är ungefär 1,61803398874989484820. Det är den positiva lösningen till x² = x + 1. Phi är irrationellt, algebraiskt och är gränskvoten för på varandra följande Fibonaccital. Det förekommer i den reguljära pentagonen och ikosaedron, i solrosens fröspiraler och i proportioner studerade sedan antikens Grekland. Dess kedjebråk [1; 1, 1, 1, ...] gör det till det reella tal som är svårast att approximera med bråk, vilket är varför fytoaxin använder den gyllene vinkeln som härleds från phi.
Gyllene snittet φ är irrationellt. Decimalutvecklingen tar aldrig slut och upprepas aldrig. Siffrorna nedan är verifierade mot quadratic formula.
FAQ
-
Används det gyllene snittet verkligen i arkitekturen?
Bevisen är blandade. Parthenon och pyramiderna innehåller φ-förhållanden men historikerna tvistar om det var avsiktligt. Moderna arkitekter som Le Corbusier använde φ medvetet i Modulorsystemet. -
Är det gyllene snittet det 'mest estetiska' förhållandet?
Det är en populär men obevisad uppfattning. Studier ger motsägelsefulla resultat. Preferenser för rektangelproportioner varierar kulturer emellan och mer med kontext än med det exakta förhållandet. -
Varför kallas φ 'det mest irrationella talet'?
φ:s kedjebråk [1; 1, 1, 1, ...] konvergerar allra långsammast av alla irrationella tal. Rationella approximationer är sämre för φ än för något annat irrationellt tal - av den anledningen kallas det 'mest irrationellt'. -
Förekommer det gyllene snittet i kroppen?
Populärvetenskapliga påståenden om φ i mänskliga proportioner är överdrivna. Faktiska mätningar visar stor variation. Påståenden om navel-till-fot-förhållanden och liknande är mytifiering snarare än matematik. -
Är φ kopplat till pentagonen?
Ja, tydligt och rigoröst. I en reguljär pentagon är förhållandet diagonal:sida exakt φ. Diagonalerna skär varandra och delar varandra i det gyllene snittet. Pentagrammet är fyllt av φ-förhållanden. -
Är det gyllene snittet irrationellt?
Ja. φ uppfyller x² = x + 1. Antikens greker visste att det var irrationellt. Till skillnad från π och e, som är transcendenta, är φ algebraiskt - en rot till ett polynom med heltalskoefficienter.
Pi
Memorera pi, e och 38 matematiska konstanter med metoden för numerisk knappsats
Spela nu - det är gratisInget konto behövs. Fungerar på alla enheter.