מהו פאי (π)?
פאי הוא היחס בין היקף כל מעגל לקוטרו. ללא קשר לגודל המעגל, יחס זה הוא תמיד בדיוק אותו דבר: π = 3.14159265358979... ההגדרה גאומטרית אך פאי מופיע בפיזיקה, בהסתברות, בהנדסה ובכל ענף של המתמטיקה.
פאי אינו ניתן לכתיבה כשבר של שני שלמים (הוכח על ידי יוהאן היינריך למברט ב-1761). הוא גם טרנסצנדנטי: אינו פתרון לאף פולינום עם מקדמים שלמים (הוכח על ידי פרדיננד פון לינדמן ב-1882). פירוש הדבר שבלתי אפשרי לרבע מעגל באמצעות מחוגה וסרגל. הפיתוח העשרוני שלו לעולם אינו מסתיים ולעולם אינו חוזר על עצמו.
ארכימדס מסירקוז (~250 לפנה"ס) היה הראשון לתחום את פאי בקפדנות, והראה שהוא נמצא בין 3+10/71 ל-3+1/7 באמצעות מצולעים חסומים וחוסמים בעלי 96 צלעות. הבבלים השתמשו ב-3.125, והמצרים ב-3.1605. הסמל π הוצג על ידי המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס ב-1706 ופופולר על ידי אוילר. נכון ל-2024, פאי חושב עד למעלה מ-100 טריליון ספרות עשרוניות.
פאי מופיע הרבה מעבר למעגלים: בהתפלגות הנורמלית (עקומת הפעמון מכילה √(2π)), בזהות של אוילר e^(iπ) + 1 = 0, בהסתברות ששני שלמים אקראיים אינם חולקים גורם משותף (6/π²), בקירוב העצרת של סטירלינג n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, במכניקת הקוונטים, ובנוסחת נפח הכדור (4πr³/3).
π ≈ 3.14159265358979323846. אי-רציונלי (למברט, 1761). טרנסצנדנטי (לינדמן, 1882). יום הפאי הוא 14 במרץ (3/14 בפורמט התאריך האמריקאי). השבר 22/7 מעריך את פאי ביתר ב-0.04%. הקירוב הטוב יותר 355/113 מדויק עד 6 ספרות עשרוניות. האם פאי הוא מספר נורמלי (כל רצף ספרות מופיע בתדירות שווה) אינו ידוע אך מאמינים בכך בהרחבה.
Archimedes used 96-sided polygons to prove 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, giving 3.1408 < π < 3.1429. He never computed π, he trapped it. The method works because the circle's perimeter lies between the two polygon perimeters.
פאי is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the נוסחת מצ'ין.
FAQ
-
מי גילה את \u03C0 ומתי?
המצרים והבבליים העתיקים קירבו את \u03C0 סביב 1900-1600 לפנה״ס. ארכימדס מסירקוזה (~250 לפנה״ס) נתן את השיטה המדויקת הראשונה לחישובו. המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס הציג את הסמל \u03C0 ב-1706, ולאונרד אוילר הפך אותו לפופולרי ברחבי העולם. -
מדוע 14 במרץ נקרא יום פאי?
בפורמט חודש/יום המשמש בארה״ב, 3/14 תואם את שלוש הספרות הראשונות של \u03C0 (3.14...). יום פאי אורגן לראשונה על ידי הפיזיקאי לארי שו באקספלורטוריום של סן פרנסיסקו ב-1988, וקונגרס ארה״ב הכיר בו רשמית ב-2009. -
מתי הוכיחו ש-\u03C0 הוא אי-רציונלי?
יוהאן היינריך למברט הוכיח ש-\u03C0 הוא אי-רציונלי ב-1761, כלומר לא ניתן לכתוב אותו כשבר פשוט. מתמטיקאים השתמשו בקירובים כמו 22/7 במשך מאות שנים בלי לדעת אם שבר מדויק קיים. -
מתי הוכיחו ש-\u03C0 הוא טרנסנדנטי?
פרדיננד פון לינדמן הוכיח ש-\u03C0 הוא טרנסנדנטי ב-1882. זה פתר את הבעיה היוונית העתיקה של ריבוע המעגל - בניית ריבוע בעל שטח זהה למעגל באמצעות מחוגה וסרגל בלבד - והוכיח שזה בלתי אפשרי. -
איזו נוסחה משמשת לחישוב \u03C0 עד מיליארדי ספרות?
חישובים מודרניים משתמשים בנוסחת צ'ודנובסקי ובנוסחת ביילי-בורווין-פלוף (BBP). נוסחת BBP (פורסמה ב-1995) מאפשרת לחשב כל ספרה הקסדצימלית של \u03C0 ישירות מבלי לחשב את הספרות הקודמות.
Pi
שננו את פאי, e ו-38 קבועים מתמטיים בשיטת המסלול על לוח המספרים
שחקו עכשיו - בחינםללא חשבון. עובד בכל מכשיר.