Wat is pi (π)?
Pi is de verhouding van de omtrek van elke cirkel tot zijn diameter. Hoe groot de cirkel ook is, deze verhouding blijft exact gelijk: π = 3,14159265358979... De definitie is meetkundig, maar pi duikt op in de natuurkunde, kansrekening, techniek en vrijwel elk gebied van de wiskunde.
Pi kan niet als breuk van twee gehele getallen worden geschreven; dat bewees Johann Heinrich Lambert in 1761. Bovendien is pi transcendentaal, dus geen oplossing van een polynoom met gehele coëfficiënten. Ferdinand von Lindemann bewees dat in 1882 en maakte daarmee de klassieke kwadratuur van de cirkel onmogelijk.
Archimedes van Syracuse, rond 250 v.Chr., was de eerste die pi streng afbakende. Met ingeschreven en omgeschreven 96-hoeken liet hij zien dat pi tussen 3 + 10/71 en 3 + 1/7 ligt. De Babyloniërs gebruikten 3,125; de Egyptenaren ongeveer 3,1605. De Griekse letter π werd in de achttiende eeuw gangbaar dankzij William Jones en Leonhard Euler.
Pi verschijnt ver buiten cirkels: in de normaalverdeling met √(2π), in Eulers identiteit e^(iπ) + 1 = 0, in de kans dat twee willekeurige gehele getallen onderling ondeelbaar zijn, namelijk 6/π², en in Fourier-analyse, golven en warmtevergelijkingen. Telkens wanneer symmetrie of rotatie een rol speelt, duikt π ergens op.
π ≈ 3,14159265358979323846. Irrationaal, Lambert 1761. Transcendentaal, Lindemann 1882. Pi-dag is 14 maart, dus 3/14 in de Amerikaanse datumnotatie. De breuk 22/7 overschat pi met ongeveer 0,04 procent. De betere benadering 355/113 is nauwkeurig tot zes decimalen. Miljarden cijfers van π zijn berekend, maar de rij lijkt geen patroon te vertonen.
Archimedes gebruikte 96-zijdige veelhoeken en toonde aan dat 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, dus 3,1408 < π < 3,1429. Hij berekende pi niet direct, hij sloot het in. De methode werkt omdat de omtrek van de cirkel tussen de omtrekken van beide veelhoeken ligt.
Pi is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the leibniz-formule.
FAQ
-
Wie ontdekte π en wanneer?
De oude Egyptenaren en Babyloniërs benaderden π rond 1900–1600 v.Chr. Archimedes van Syracuse (~250 v.Chr.) gaf de eerste strenge methode om het getal af te bakenen. De Welshe wiskundige William Jones introduceerde het symbool π in 1706 en Leonhard Euler maakte het wereldwijd populair. -
Waarom wordt 14 maart Pi-dag genoemd?
In het Amerikaanse datumformaat maand/dag komt 3/14 overeen met de eerste drie cijfers van π (3,14...). Pi-dag werd voor het eerst georganiseerd door natuurkundige Larry Shaw in het San Francisco Exploratorium in 1988, en het Amerikaanse Congres erkende de dag officieel in 2009. -
Wanneer werd bewezen dat π irrationaal is?
Johann Heinrich Lambert bewees in 1761 dat π irrationaal is, wat betekent dat het niet als eenvoudige breuk geschreven kan worden. Wiskundigen hadden eeuwenlang benaderingen zoals 22/7 gebruikt zonder te weten of er een exacte breuk bestond. -
Wanneer werd bewezen dat π transcendent is?
Ferdinand von Lindemann bewees in 1882 dat π transcendent is. Hiermee werd het klassiek Griekse probleem van de kwadratuur van de cirkel opgelost – het construeren van een vierkant met dezelfde oppervlakte als een cirkel met alleen passer en liniaal – door te bewijzen dat het onmogelijk is. -
Welke formule wordt gebruikt om π tot miljarden cijfers te berekenen?
Moderne berekeningen gebruiken de Chudnovsky-formule en de Bailey–Borwein–Plouffe-formule (BBP). De BBP-formule (gepubliceerd in 1995) maakt het mogelijk om elk hexadecimaal cijfer van π rechtstreeks te berekenen zonder de voorafgaande cijfers uit te rekenen.
Pi
Memoriseer pi, e en 38 wiskundige constanten met de cijfertoetsenbordmethode
Nu spelen - gratisGeen account nodig. Werkt op elk apparaat.