Qu'est-ce que Pi (π) ?
Pi est le rapport de la circonference de n'importe quel cercle a son diametre. Quelle que soit la taille du cercle, ce rapport est toujours exactement le meme : π = 3,14159265358979... La definition est geometrique, mais pi apparait en physique, en probabilites, en ingenierie et dans toutes les branches des mathematiques.
Pi ne peut pas s'ecrire sous forme de fraction de deux entiers (demontre par Johann Heinrich Lambert en 1761). Il est aussi transcendant : il n'est la solution d'aucune equation polynomiale a coefficients entiers (demontre par Ferdinand von Lindemann en 1882). Cela signifie qu'il est impossible de construire un carre de meme aire qu'un cercle donne a la regle et au compas. Son developpement decimal ne se termine jamais et ne se repete jamais.
Archimede de Syracuse (~250 av. J.-C.) fut le premier a encadrer rigoureusement pi, montrant qu'il se situe entre 3+10/71 et 3+1/7 a l'aide de polygones inscrits et circonscrits a 96 cotes. Les Babyloniens utilisaient 3,125 et les Egyptiens 3,1605. Le symbole π a ete introduit par le mathematicien gallois William Jones en 1706 et popularise par Euler. En 2024, pi a ete calcule a plus de 100 000 milliards de decimales.
Pi apparait bien au-dela des cercles : dans la distribution normale (la courbe en cloche contient √(2π)), dans l'identite d'Euler e^(iπ) + 1 = 0, dans la probabilite que deux entiers aleatoires soient premiers entre eux (6/π²), dans l'approximation de Stirling n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, en mecanique quantique, et dans la formule du volume d'une sphere (4πr³/3).
π ≈ 3,14159265358979323846. Irrationnel (Lambert, 1761). Transcendant (Lindemann, 1882). La Journee de Pi est le 14 mars (3/14 en format de date americain). La fraction 22/7 surestime pi de 0,04 %. La meilleure approximation 355/113 est exacte a 6 decimales pres. On ignore si pi est un nombre normal (chaque sequence de chiffres apparaissant avec la meme frequence), mais c'est largement admis.
Archimedes used 96-sided polygons to prove 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, giving 3.1408 < π < 3.1429. He never computed π, he trapped it. The method works because the circle's perimeter lies between the two polygon perimeters.
Pi is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the machin formula.
FAQ
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Qui a découvert π et quand ?
Les anciens Égyptiens et Babyloniens ont approximé π vers 1900-1600 av. J.-C. Archimède de Syracuse (~250 av. J.-C.) a donné la première méthode rigoureuse pour l'encadrer. Le mathématicien gallois William Jones a introduit le symbole π en 1706, et Leonhard Euler l'a popularisé dans le monde entier. -
Pourquoi le 14 mars est-il appelé le Jour de Pi ?
Dans le format mois/jour utilisé aux États-Unis, 3/14 correspond aux trois premiers chiffres de π (3,14...). Le Jour de Pi a été organisé pour la première fois par le physicien Larry Shaw à l'Exploratorium de San Francisco en 1988, et le Congrès américain l'a officiellement reconnu en 2009. -
Quand a-t-on prouvé que π est irrationnel ?
Johann Heinrich Lambert a prouvé que π est irrationnel en 1761, ce qui signifie qu'il ne peut pas s'écrire sous forme de fraction simple. Les mathématiciens avaient utilisé des approximations comme 22/7 pendant des siècles sans savoir si une fraction exacte existait. -
Quand a-t-on prouvé que π est transcendant ?
Ferdinand von Lindemann a prouvé que π est transcendant en 1882. Cela a résolu l'ancien problème grec de la quadrature du cercle - construire un carré de même aire qu'un cercle donné à l'aide uniquement d'un compas et d'une règle - en prouvant que c'est impossible. -
Quelle formule est utilisée pour calculer π à des milliards de décimales ?
Les calculs modernes utilisent la formule de Chudnovsky et la formule de Bailey-Borwein-Plouffe (BBP). La formule BBP (publiée en 1995) permet de calculer directement n'importe quel chiffre hexadécimal de π sans calculer les chiffres précédents.
Pi
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