Vad är Pi (π)?
Pi är förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Oavsett cirkelns storlek är detta förhållande alltid exakt detsamma: π = 3,14159265358979... Definitionen är geometrisk men pi förekommer i fysik, sannolikhetsteori, ingenjörsvetenskap och inom alla grenar av matematiken.
Pi kan inte skrivas som ett bråk av två heltal (bevisat av Johann Heinrich Lambert 1761). Det är också transcendent: inte lösningen till något polynom med heltalskoefficienter (bevisat av Ferdinand von Lindemann 1882). Det innebär att det är omöjligt att kvadrera en cirkel med enbart passare och linjal. Decimalutvecklingen tar aldrig slut och upprepar sig aldrig.
Arkimedes från Syrakusa (~250 f.Kr.) var den förste att rigoröst begränsa pi, och visade att det ligger mellan 3+10/71 och 3+1/7 med hjälp av inskrivna och omskrivna polygoner med 96 sidor. Babylonierna använde 3,125 och egyptierna 3,1605. Symbolen π introducerades av den walesiske matematikern William Jones år 1706 och populariserades av Euler. Per 2024 har pi beräknats till över 100 biljoner decimaler.
Pi förekommer långt bortom cirklar: i normalfördelningen (klockformskurvan innehåller √(2π)), i Eulers identitet e^(iπ) + 1 = 0, i sannolikheten att två slumpmässiga heltal saknar gemensam faktor (6/π²), i Stirlings fakultetsapproximation n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ, i kvantmekanik och i formeln för en sfärs volym (4πr³/3).
π ≈ 3,14159265358979323846. Irrationellt (Lambert, 1761). Transcendent (Lindemann, 1882). Pi-dagen firas den 14 mars (3/14 i det amerikanska datumformatet). Bråket 22/7 överskattar pi med 0,04 %. Den bättre approximationen 355/113 är korrekt till 6 decimaler. Om pi är ett normalt tal (varje siffersekvens förekommer med lika stor frekvens) är okänt men allmänt trott.
Genom att utgå från 6-sidiga hexagoner (vilket ger 3,000 < π < 3,464) och successivt fördubbla upp till 96-sidiga polygoner bevisade Arkimedes 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, vilket ger 3,1408 < π < 3,1429. Han beräknade aldrig π, han fångade det. Metoden fungerar eftersom cirkelns omkrets ligger mellan de två polygonernas omkretsar.
Pi är irrationellt. Decimalutvecklingen tar aldrig slut och upprepas aldrig. Siffrorna nedan är verifierade mot machin formula.
FAQ
-
Vem upptäckte π och när?
Forntidens egyptier och babylonier approximerade π omkring 1900-1600 f.Kr. Arkimedes av Syrakusa (~250 f.Kr.) gav den första rigorösa metoden att begränsa det. Den walesiske matematikern William Jones introducerade symbolen π 1706, och Leonhard Euler populariserade den globalt. -
Varför kallas 14 mars Pi-dagen?
I USA:s månad/dag-format matchar 3/14 de tre första siffrorna i π (3,14...). Pi-dagen organiserades första gången av fysikern Larry Shaw vid Exploratoriet i San Francisco 1988, och USA:s kongress erkände den officiellt 2009. -
När bevisades att π är irrationellt?
Johann Heinrich Lambert bevisade 1761 att π är irrationellt - det kan inte skrivas som ett enkelt bråk. Matematiker hade använt approximationer som 22/7 i århundraden utan att veta om det var exakt. -
Är π transcendent?
Ja. Ferdinand von Lindemann bevisade 1882 att π är transcendent - det löser inget polynom med rationella koefficienter. Det innebär att det är omöjligt att 'kvadrera cirkeln' med enbart passare och linjal. -
Hur beräknas π till miljarder decimaler?
Moderna beräkningar använder snabbt konvergerande serier som Chudnovsky-algoritmen: 1/π = (12/640320³/²)·Σ (−1)ⁿ(6n)!(13591409+545140134n)/((3n)!(n!)³). Varje term ger ~14 korrekta decimaler.
Pi
Memorera pi, e och 38 matematiska konstanter med metoden för numerisk knappsats
Spela nu - det är gratisInget konto behövs. Fungerar på alla enheter.