什么是圆周率 π？
π 是任何圆的周长与直径之比。无论圆有多大，这个比值始终完全相同：π = 3.14159265358979... 它的定义来自几何，但 π 同时出现在物理、概率、工程以及数学的几乎每一个分支中。
π 不能写成两个整数之比（1761 年由 Johann Heinrich Lambert 证明）。它还是超越数，也就是说，它不是任何整系数多项式方程的解（1882 年由 Ferdinand von Lindemann 证明）。这意味着用尺规作图不可能完成化圆为方。它的小数展开永不终止，也永不循环。
圆最基本的三个量：直径 d、半径 r=d/2，以及由 π 给出的周长与面积公式。
叙拉古的阿基米德（约公元前 250 年）最早严格夹逼了 π：他利用 96 边形的内接与外切，证明 π 介于 3+10/71 与 3+1/7 之间。巴比伦人使用 3.125，埃及人使用 3.1605。符号 π 由威尔士数学家 William Jones 于 1706 年引入，后经欧拉推广而普及。截至 2024 年，π 已被计算到超过 100 万亿位小数。
π 远不只属于圆：它出现在正态分布（钟形曲线中含有 √(2π)）、欧拉恒等式 e^(iπ) + 1 = 0、两个随机整数互素的概率（6/π²）、斯特林公式 n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ、量子力学，以及球体体积公式 4πr³/3 中。
π ≈ 3.14159265358979323846。它是无理数（Lambert，1761），也是超越数（Lindemann，1882）。“π 日”是 3 月 14 日。分数 22/7 对 π 的估计偏大约 0.04%，而 355/113 则精确到 6 位小数。π 是否是“正规数”（即所有数字序列都以相同频率出现）目前仍未知，但许多人相信它是。
通过比较圆内接与圆外切多边形的周长，阿基米德首次给出了对 π 的严格上下界。
圆周率 π is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the 莱布尼茨公式.
FAQ
-
谁发现了 π？是什么时候？
古埃及人和巴比伦人早在公元前1900-1600年就对 π 进行了近似计算。叙拉古的阿基米德（约公元前250年）给出了第一个严格的界定方法。威尔士数学家 William Jones 于1706年引入了符号 π，随后 Leonhard Euler 将其推广到全世界。 -
为什么3月14日被称为圆周率日？
在美国使用的月/日格式中，3/14与 π 的前三位数字（3.14...）相吻合。圆周率日最早由物理学家 Larry Shaw 于1988年在旧金山探索馆组织，美国国会于2009年正式承认了这一纪念日。 -
π 何时被证明是无理数？
Johann Heinrich Lambert 于1761年证明了 π 是无理数，即它不能写成一个简单分数。几个世纪以来，数学家们一直使用 22/7 等近似值，却不知道是否存在一个精确的分数。 -
π 何时被证明是超越数？
Ferdinand von Lindemann 于1882年证明了 π 是超越数。这解决了古希腊的化圆为方问题··仅用圆规和直尺构造一个与圆面积相等的正方形··证明这是不可能的。 -
用什么公式将 π 计算到数十亿位？
现代计算使用 Chudnovsky 公式和 Bailey-Borwein-Plouffe (BBP) 公式。BBP 公式（1995年发表）允许直接计算 π 的任意十六进制位，而无需计算前面的所有位数。