π（円周率）とは？
π は、どんな円でもその周長を直径で割った比である。円の大きさに関係なく、この比は常に同じで、π = 3.14159265358979... となる。定義は幾何学的だが、π は物理学、確率論、工学、そして数学のあらゆる分野に現れる。
π は 2 つの整数の比として表せない（ヨハン・ハインリヒ・ランベルト、1761 年）。さらに、整数係数多項式の解にもならない超越数である（フェルディナント・フォン・リンデマン、1882 年）。このため、定規とコンパスだけで円積問題を解くことは不可能である。π の小数展開は終わることも、循環することもない。
シラクサのアルキメデス（紀元前250年ごろ）は、内接・外接する 96 角形を用いて、π が 3+10/71 と 3+1/7 の間にあることを厳密に示した最初の人物である。バビロニア人は 3.125、エジプト人は 3.1605 を使っていた。記号 π は 1706 年にウェールズの数学者ウィリアム・ジョーンズが導入し、後にオイラーが広めた。2024 年時点で、π は 100 兆桁を超えて計算されている。
π は円だけに現れるわけではない。正規分布（釣鐘曲線には √(2π) が現れる）、オイラーの恒等式 e^(iπ) + 1 = 0、互いに素である 2 つのランダムな整数の確率 (6/π²)、スターリングの公式 n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ、量子力学、球の体積公式 4πr³/3 などにも現れる。
π ≈ 3.14159265358979323846。無理数（ランベルト、1761 年）。超越数（リンデマン、1882 年）。Pi Day は 3 月 14 日（アメリカ式日付の 3/14）。分数 22/7 は π を 0.04% だけ過大評価する。より良い近似 355/113 は小数 6 桁まで正しい。π が正規数（あらゆる数字列が同じ頻度で現れる）かどうかは未解決だが、そうだと広く信じられている。
アルキメデスは 96 角形を用いて 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7 を示し、3.1408 < π < 3.1429 を得た。彼は π を直接計算したのではなく、上下から挟み込んだのである。円周が内接・外接多角形の周長の間にあることを使う方法である。
Pi is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the machin formula.
FAQ
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π を発見したのは誰で、いつ頃ですか？
古代エジプト人とバビロニア人が紀元前1900–1600年頃に π を近似しました。シラクサのアルキメデス（紀元前250年頃）が初めて厳密な上下界を与えました。ウェールズの数学者ウィリアム・ジョーンズが1706年に記号 π を導入し、レオンハルト・オイラーが世界中に広めました。 -
なぜ3月14日が円周率の日なのですか？
アメリカで使われる月/日形式では3/14となり、π の最初の3桁（3.14...）と一致します。円周率の日は1988年に物理学者ラリー・ショーがサンフランシスコのエクスプロラトリアムで初めて開催し、2009年にアメリカ議会が正式に認定しました。 -
π が無理数であることはいつ証明されましたか？
ヨハン・ハインリヒ・ランベルトが1761年に π は無理数であると証明しました。つまり、単純な分数では表せないということです。数学者たちは何世紀にもわたり22/7のような近似値を使っていましたが、正確な分数が存在するかどうかは分かっていませんでした。 -
π が超越数であることはいつ証明されましたか？
フェルディナント・フォン・リンデマンが1882年に π は超越数であると証明しました。これにより、古代ギリシャの円積問題——コンパスと定規だけで円と同じ面積の正方形を作図する問題——が不可能であることが確定しました。 -
π を数十億桁まで計算するのにどの公式が使われていますか？
現代の計算にはチュドノフスキーの公式とベイリー–ボルウェイン–プラウフ（BBP）公式が使われています。BBP公式（1995年発表）は、前の桁をすべて計算せずに π の任意の16進数桁を直接計算できます。