√2 (รากที่สองของ 2) คืออะไร?
√2 คือความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วย วางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 1 บนโต๊ะ ระยะทางจากมุมหนึ่งไปยังมุมตรงข้ามคือ √2 พอดี นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส: 1² + 1² = (√2)²
ชาวพีทาโกรัสค้นพบราว 500 ปีก่อนคริสตกาลว่า √2 ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน p/q โดยที่ p และ q เป็นจำนวนเต็มได้ บทพิสูจน์โดยข้อขัดแย้งนั้นงดงาม: สมมติว่า √2 = p/q ในรูปอย่างต่ำ จากนั้น 2q² = p² ดังนั้น p² เป็นจำนวนคู่ ดังนั้น p เป็นจำนวนคู่ เขียน p = 2k จากนั้น 2q² = 4k² ดังนั้น q² = 2k² ดังนั้น q ก็เป็นจำนวนคู่เช่นกัน สิ่งนี้ขัดแย้งกับการที่ p/q อยู่ในรูปอย่างต่ำ √2 เป็นจำนวนอตรรกยะ
ตัวลู่เข้าจากเศษส่วนต่อเนื่อง [1; 2, 2, 2, …] แต่ละเศษส่วนเป็นการประมาณตรรกยะที่ดีที่สุดด้วยตัวส่วนนั้น
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต (มันสอดคล้องกับ x² = 2) แต่เป็นจำนวนอตรรกยะ ในตรีโกณมิติ: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 อนุกรมกระดาษ A (A4, A3, A2…) ใช้อัตราส่วน 1:√2 เพื่อให้การพับแผ่นกระดาษครึ่งหนึ่งให้สัดส่วนเดียวกัน คำนวณได้เต็มความละเอียด: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
รากที่สองของ 2 ประมาณ 1.41421356237309504880 มันเป็นจำนวนแรกที่เคยพิสูจน์ได้ว่าเป็นจำนวนอตรรกยะ โดยชาวกรีกโบราณราว 500 ปีก่อนคริสตกาล มันเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต สอดคล้องกับ x² = 2 มันปรากฏเป็นความยาวเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วย, ในการปรับเสียงดนตรีแบบอุณหภูมิเท่ากัน (แต่ละครึ่งเสียงคูณความถี่ด้วยรากที่ 12 ของ 2), ในขนาดกระดาษอนุกรม A (A4 พับให้ A5 สัดส่วนเดียวกัน), และในทฤษฎีบทพีทาโกรัสเมื่อใดก็ตามที่ด้านประกอบมุมฉากเท่ากัน
รากที่สองของ 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the เศษส่วนต่อเนื่อง.
FAQ
-
ใครพิสูจน์ว่า \u221A2 เป็นจำนวนอตรรกยะ?
นักคณิตศาสตร์กลุ่มพีทาโกรัส อาจเป็นฮิปปาซัสแห่งเมตาปอนตัม พิสูจน์ในราว 500-450 ปีก่อนคริสตกาล การค้นพบนี้เป็นเรื่องตกใจเพราะปรัชญาของพวกเขาเชื่อว่าจำนวนทั้งหมดเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็ม ตำนานกล่าวว่าฮิปปาซัสถูกจมน้ำตายเพราะเปิดเผยบทพิสูจน์ -
การพิสูจน์ว่า \u221A2 เป็นจำนวนอตรรกยะทำอย่างไร?
โดยการพิสูจน์แบบขัดแย้ง สมมติว่า \u221A2 = p/q ในรูปอย่างต่ำ แล้ว p^2 = 2q^2 ดังนั้น p เป็นจำนวนคู่ เขียน p = 2m แล้ว 4m^2 = 2q^2 ดังนั้น q^2 = 2m^2 หมายความว่า q เป็นจำนวนคู่เช่นกัน แต่ถ้าทั้งสองเป็นจำนวนคู่ พวกมันจะมีตัวประกอบร่วมเป็น 2 ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานว่าอยู่ในรูปอย่างต่ำ -
อารยธรรมโบราณรู้จัก \u221A2 หรือไม่?
รู้จัก แผ่นหินจากคอลเลกชันแห่งเยล YBC 7289 ซึ่งมีอายุราว 1800-1600 ปีก่อนคริสตกาล แสดงค่าประมาณของ \u221A2 ที่แม่นยำถึงห้าตำแหน่งทศนิยม ชาวบาบิลอนคำนวณความยาวเส้นทแยงมุมโดยไม่มีการพิสูจน์อย่างเป็นทางการว่าเป็นจำนวนอตรรกยะ -
ทำไมอัตราส่วน 1:\u221A2 ถูกเลือกสำหรับขนาดกระดาษซีรีส์ A?
วิศวกรชาวเยอรมันวอลเตอร์ พอร์สต์มันน์ จัดทำมาตรฐานเยอรมัน DIN 476 อย่างเป็นทางการในปี 1922 (ต่อมาได้รับการรับรองระหว่างประเทศเป็น ISO 216 ในปี 1975) ข้อค้นพบสำคัญ ซึ่งลิชเทนแบร์กบันทึกไว้ครั้งแรกในปี 1786: ถ้าแผ่นกระดาษมีด้านในอัตราส่วน 1:\u221A2 การพับครึ่งทำให้ได้แผ่นกระดาษที่มีสัดส่วนเดิมทุกประการ สิ่งนี้ทำให้ขนาดทั้งหมดจาก A0 ถึง A10 ใช้มาตรฐานเดียวกันได้ -
\u221A2 ปรากฏในคณิตศาสตร์ที่อื่นอีกหรือไม่?
ในสามเหลี่ยมมุมซ้าย 45-45-90 ด้านตรงข้ามมุมซ้ายเป็น \u221A2 เท่าของด้านประกอบมุมซ้าย เส้นทแยงมุมใบหน้าของลูกบาศก์หน่วยคือ \u221A2 มันปรากฏเป็นเศษส่วนต่อเนื่อง [1;2,2,2,...] และในการปรับค่าฟังก์ชันคลื่นในกลศาสตร์ควอนตัม
Pi
ท่องจำพาย ค่า e และค่าคงตัวคณิตศาสตร์ 38 ตัว ด้วยวิธีเส้นทางบนแป้นตัวเลข
เล่นตอนนี้ - ฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิก ใช้ได้ทุกอุปกรณ์