Apa itu √2 (Akar Kuadrat dari 2)?
√2 adalah panjang diagonal persegi satuan. Bayangkan sebuah persegi dengan sisi panjang 1. Jarak dari satu sudut ke sudut yang berseberangan adalah tepat √2. Ini adalah teorema Pythagoras: 1² + 1² = (√2)².
Kaum Pythagorean menemukan sekitar 500 SM bahwa √2 tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan p/q dengan p dan q bilangan bulat. Buktinya dengan kontradiksi sangat elegan: andaikan √2 = p/q dalam bentuk paling sederhana. Maka 2q² = p², sehingga p² genap, jadi p juga genap; tuliskan p = 2k. Lalu 2q² = 4k², maka q² = 2k², sehingga q juga genap. Ini bertentangan dengan anggapan bahwa p/q sudah paling sederhana. Jadi √2 irasional.
Konvergen dari pecahan berlanjut [1; 2, 2, 2, …]. Setiap pecahan adalah aproksimasi rasional terbaik dengan penyebut tersebut.
| Bruch | Dezimalzahl | Fehler |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 adalah bilangan aljabar (karena memenuhi x² = 2), tetapi tetap irasional. Dalam trigonometri, sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Seri kertas A (A4, A3, A2…) menggunakan rasio 1:√2, sehingga saat selembar kertas dilipat dua, proporsinya tetap sama. Dihitung hingga presisi tinggi: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
Akar kuadrat dari 2 bernilai sekitar 1.41421356237309504880. Ini adalah bilangan pertama yang pernah dibuktikan irasional, oleh orang Yunani kuno sekitar 500 SM. Ia bersifat aljabar karena memenuhi x² = 2. √2 muncul sebagai panjang diagonal persegi satuan, dalam penyeteman musik equal temperament (setiap semiton mengalikan frekuensi dengan akar pangkat dua belas dari 2), pada ukuran kertas seri A, dan dalam teorema Pythagoras ketika kedua kaki segitiga sama panjang.
Akar Kuadrat dari 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the pecahan berlanjut.
FAQ
-
Siapa yang membuktikan √2 adalah bilangan irasional?
Kaum Pythagorean, mungkin Hippasus dari Metapontum, membuktikannya sekitar 500–450 SM. Penemuan ini mengejutkan karena filosofi mereka menyatakan semua bilangan adalah rasio bilangan bulat. Legenda menyebutkan Hippasus ditenggelamkan di laut karena mengungkapkan bukti tersebut. -
Bagaimana ketidakrasionalan √2 dibuktikan?
Dengan kontradiksi. Asumsikan √2 = p/q dalam bentuk paling sederhana. Maka p² = 2q², sehingga p genap — tulis p = 2m. Maka 4m² = 2q², sehingga q² = 2m², yang berarti q juga genap. Tetapi jika keduanya genap, keduanya berbagi faktor 2, yang bertentangan dengan bentuk paling sederhana. -
Apakah peradaban kuno mengetahui tentang √2?
Ya. Tablet dari Koleksi Babilonia Yale YBC 7289, yang berasal dari sekitar 1800–1600 SM, menunjukkan pendekatan √2 yang akurat hingga lima tempat desimal. Bangsa Babilonia menghitung panjang diagonal tanpa bukti formal tentang ketidakrasionalan. -
Mengapa rasio 1:√2 dipilih untuk ukuran kertas A?
Insinyur Jerman Walter Porstmann memformalkan standar ISO 216 pada tahun 1922. Wawasan kuncinya: jika selembar kertas memiliki sisi dengan rasio 1:√2, melipatnya menjadi dua menghasilkan lembar dengan proporsi yang persis sama. Ini memungkinkan semua ukuran dari A0 hingga A10 berbagi satu standar. -
Di mana lagi √2 muncul dalam matematika?
Dalam segitiga siku-siku 45-45-90, hipotenusa selalu √2 kali kaki-kakinya. Diagonal sisi kubus satuan adalah √2. Bilangan ini muncul sebagai pecahan kontinu [1;2,2,2,...] dan dalam normalisasi fungsi gelombang mekanika kuantum.
Pi
Hafalkan pi, e, dan 38 konstanta matematika dengan metode jalur numpad
Main sekarang - gratisTanpa akun. Bisa di perangkat apa saja.