Qu'est-ce que √2 (racine carrée de 2) ?
√2 est la longueur de la diagonale d'un carré unitaire. Placez un carré de côté 1 sur une table. La distance d'un coin au coin opposé est exactement √2. C'est le théorème de Pythagore : 1² + 1² = (√2)².
Les Pythagoriciens découvrirent vers 500 av. J.-C. que √2 ne peut pas s'exprimer comme une fraction p/q où p et q sont des entiers. La démonstration par l'absurde est élégante : supposons √2 = p/q sous forme irréductible. Alors 2q² = p², donc p² est pair, donc p est pair, écrivons p = 2k. Alors 2q² = 4k², donc q² = 2k², donc q est aussi pair. Cela contredit le fait que p/q est irréductible. √2 est irrationnel.
Convergents de la fraction continue [1; 2, 2, 2, …]. Chaque fraction est la meilleure approximation rationnelle avec ce dénominateur.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 est algébrique (il satisfait x² = 2) mais irrationnel. En trigonométrie : sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. La série de papier A (A4, A3, A2…) utilise le rapport 1:√2, de sorte que plier une feuille en deux donne les mêmes proportions. Calculé en précision complète : 1,41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
La racine carrée de 2 vaut environ 1,41421356237309504880. C'est le premier nombre jamais prouvé irrationnel, par les Grecs anciens vers 500 av. J.-C. Il est algébrique, satisfaisant x² = 2. Il apparaît comme la longueur de la diagonale d'un carré unitaire, dans l'accordage musical tempéré (chaque demi-ton multiplie la fréquence par la racine douzième de 2), dans les dimensions du papier de la série A (plier un A4 donne un A5, mêmes proportions), et dans le théorème de Pythagore lorsque les côtés sont égaux.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the continued fraction.
FAQ
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Qui a prouvé que √2 est irrationnel ?
Les Pythagoriciens, peut-être Hippase de Métaponte, l'ont prouvé vers 500-450 av. J.-C. La découverte fut un choc car leur philosophie considérait que tous les nombres sont des rapports d'entiers. La légende raconte qu'Hippase fut noyé en mer pour avoir révélé la preuve. -
Comment l'irrationalité de √2 a-t-elle été prouvée ?
Par l'absurde. Supposons que √2 = p/q sous forme irréductible. Alors p^2 = 2q^2, donc p est pair - écrivons p = 2m. Alors 4m^2 = 2q^2, donc q^2 = 2m^2, ce qui signifie que q est aussi pair. Mais si les deux sont pairs, ils partagent un facteur 2, ce qui contredit la forme irréductible. -
Les civilisations anciennes connaissaient-elles √2 ?
Oui. La tablette YBC 7289 de la Yale Babylonian Collection, datant d'environ 1800-1600 av. J.-C., montre une approximation de √2 exacte à cinq décimales. Les Babyloniens calculaient les longueurs des diagonales sans aucune preuve formelle d'irrationalité. -
Pourquoi le rapport 1:√2 a-t-il été choisi pour les formats de papier A ?
L'ingénieur allemand Walter Porstmann a formalisé la norme ISO 216 en 1922. L'idée clé : si une feuille a des côtés dans le rapport 1:√2, la plier en deux produit une feuille aux mêmes proportions. Cela permet à tous les formats de A0 à A10 de partager un même standard. -
Où √2 apparaît-il ailleurs en mathématiques ?
Dans un triangle rectangle 45-45-90, l'hypoténuse vaut toujours √2 fois les côtés de l'angle droit. La diagonale d'une face d'un cube unitaire mesure √2. Il apparaît sous forme de fraction continue [1;2,2,2,...] et en mécanique quantique dans la normalisation des fonctions d'onde.
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