¿Qué es √2 (raíz cuadrada de 2)?
√2 es la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario. Coloca un cuadrado con lados de longitud 1 sobre una mesa. La distancia de una esquina a la esquina opuesta es exactamente √2. Esto es el teorema de Pitágoras: 1² + 1² = (√2)².
Los pitagóricos descubrieron hacia 500 a. C. que √2 no puede expresarse como una fracción p/q donde p y q son enteros. La demostración por reducción al absurdo es elegante: supongamos que √2 = p/q en su forma irreducible. Entonces 2q² = p², así que p² es par, luego p es par; escribimos p = 2k. Entonces 2q² = 4k², así que q² = 2k², luego q también es par. Esto contradice que p/q sea irreducible. √2 es irracional.
Convergentes de la fracción continua [1; 2, 2, 2, …]. Cada fracción es la mejor aproximación racional con ese denominador.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 es algebraico (satisface x² = 2) pero irracional. En trigonometría: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. La serie de papel A (A4, A3, A2…) utiliza la proporción 1:√2, de modo que al plegar una hoja por la mitad se mantienen las mismas proporciones. Calculado con precisión completa: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
La raíz cuadrada de 2 es aproximadamente 1.41421356237309504880. Fue el primer número cuya irracionalidad se demostró, por los antiguos griegos hacia 500 a. C. Es algebraico, satisfaciendo x² = 2. Aparece como la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario, en la afinación musical de temperamento igual (cada semitono multiplica la frecuencia por la raíz 12.ª de 2), en las dimensiones del papel serie A (A4 plegado da A5, mismas proporciones) y en el teorema de Pitágoras cuando los catetos son iguales.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the continued fraction.
FAQ
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¿Quién demostró que √2 es irracional?
Los pitagóricos, posiblemente Hipaso de Metaponto, lo demostraron alrededor de 500–450 a. C. El descubrimiento fue impactante porque su filosofía sostenía que todos los números son razones de números enteros. La leyenda cuenta que Hipaso fue ahogado en el mar por revelar la demostración. -
¿Cómo se demostró la irracionalidad de √2?
Por contradicción. Supongamos que √2 = p/q en su forma más reducida. Entonces p² = 2q², así que p es par; escribimos p = 2m. Entonces 4m² = 2q², de modo que q² = 2m², lo que significa que q también es par. Pero si ambos son pares comparten un factor de 2, lo cual contradice que estén en su forma más reducida. -
¿Las civilizaciones antiguas conocían √2?
Sí. La tablilla YBC 7289 de la Colección Babilónica de Yale, que data de aproximadamente 1800–1600 a. C., muestra una aproximación de √2 con precisión de cinco cifras decimales. Los babilonios calculaban longitudes diagonales sin ninguna demostración formal de irracionalidad. -
¿Por qué se eligió la proporción 1:√2 para los tamaños de papel A?
El ingeniero alemán Walter Porstmann formalizó la norma ISO 216 en 1922. La idea clave: si una hoja tiene lados en proporción 1:√2, al doblarla por la mitad se obtiene una hoja con exactamente las mismas proporciones. Esto permite que todos los tamaños, desde A0 hasta A10, compartan un mismo estándar. -
¿Dónde más aparece √2 en las matemáticas?
En un triángulo rectángulo de 45-45-90, la hipotenusa siempre es √2 veces los catetos. La diagonal de la cara de un cubo unitario es √2. Aparece como la fracción continua [1;2,2,2,…] y en la normalización de funciones de onda en mecánica cuántica.
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