Що таке √2 (квадратний корінь із 2)?
√2 - це довжина діагоналі одиничного квадрата. Покладіть на стіл квадрат зі сторонами завдовжки 1. Відстань від одного кута до протилежного дорівнює точно √2. Це теорема Піфагора: 1² + 1² = (√2)².
Піфагорійці відкрили близько 500 р. до н.е., що √2 не можна виразити як дріб p/q, де p та q - цілі числа. Доведення від супротивного елегантне: припустимо, що √2 = p/q у нескоротному вигляді. Тоді 2q² = p², отже p² парне, отже p парне, запишемо p = 2k. Тоді 2q² = 4k², отже q² = 2k², отже q теж парне. Це суперечить тому, що p/q нескоротне. √2 ірраціональне.
Підхідні дроби з ланцюгового дробу [1; 2, 2, 2, …]. Кожен дріб - це найкраще раціональне наближення з цим знаменником.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 алгебраїчне (воно задовольняє x² = 2), але ірраціональне. У тригонометрії: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Серія паперу A (A4, A3, A2…) використовує відношення 1:√2, тож складання аркуша навпіл дає ті самі пропорції. Обчислено з повною точністю: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
Квадратний корінь із 2 приблизно дорівнює 1.41421356237309504880. Це було перше число, ірраціональність якого коли-небудь доведено, давніми греками близько 500 р. до н.е. Воно алгебраїчне, задовольняє x² = 2. Воно з'являється як довжина діагоналі одиничного квадрата, у рівномірно темперованому музичному строї (кожен півтон множить частоту на корінь 12-го степеня з 2), у розмірах паперу серії A (складений A4 дає A5, ті самі пропорції) та в теоремі Піфагора щоразу, коли катети рівні.
Квадратний корінь із 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the ланцюговий дріб.
FAQ
-
Хто довів, що \u221A2 є ірраціональним?
Піфагорійці, можливо Гіппас з Метапонта, довели це приблизно у 500-450 роках до н.е. Відкриття було шокуючим, оскільки їхня філософія стверджувала, що всі числа є відношеннями цілих чисел. За легендою, Гіппаса втопили у морі за розголошення доказу. -
Як було доведено ірраціональність \u221A2?
Від супротивного. Припустимо, що \u221A2 = p/q у нескоротеному вигляді. Тоді p^2 = 2q^2, отже p є парним · запишемо p = 2m. Тоді 4m^2 = 2q^2, отже q^2 = 2m^2, що означає, що q також є парним. Але якщо обидва числа парні, вони мають спільний множник 2, що суперечить умові нескоротеності. -
Чи знали давні цивілізації про \u221A2?
Так. Гліняна табличка YBC 7289 з Єльської вавилонської колекції, датована приблизно 1800-1600 роками до н.е., містить наближення \u221A2 з точністю до п'яти знаків після коми. Вавилонські математики обчислювали довжини діагоналей без жодного формального доказу ірраціональності. -
Чому співвідношення 1:\u221A2 було обрано для форматів паперу серії А?
Німецький інженер Вальтер Порстман формалізував німецький стандарт DIN 476 у 1922 році (пізніше прийнятий міжнародно як ISO 216 у 1975 році). Головна ідея, вперше зазначена Ліхтенбергом у 1786 році: якщо аркуш має сторони у співвідношенні 1:\u221A2, то складання його навпіл дає аркуш з тими самими пропорціями. Це дозволяє всім форматам від A0 до A10 мати єдиний стандарт. -
Де ще зустрічається \u221A2 у математиці?
У прямокутному трикутнику з кутами 45-45-90 гіпотенуза завжди у \u221A2 разів більша за катети. Діагональ грані одиничного куба дорівнює \u221A2. Воно з'являється як ланцюговий дріб [1;2,2,2,...] та у нормалізації хвильових функцій квантової механіки.
Pi
Запам'ятовуйте пі, e та 38 математичних констант методом шляху цифровою клавіатурою
Грати зараз - безкоштовноБез реєстрації. Працює на будь-якому пристрої.