Vad är √2 (kvadratroten ur 2)?
√2 är längden på diagonalen i en enhetskvadraten. Placera en kvadrat med sidlängden 1 på ett bord. Avståndet från ett hörn till det motsatta hörnet är exakt √2. Det är Pythagoras sats: 1² + 1² = (√2)².
Pythagoréerna upptäckte runt 500 f.Kr. att √2 inte kan uttryckas som ett bråk p/q där p och q är heltal. Motstridighetsbeviset är elegant: antag att √2 = p/q i lägsta termer. Då är 2q² = p², alltså är p² jämnt, alltså är p jämnt, skriv p = 2k. Då är 2q² = 4k², alltså q² = 2k², alltså är q också jämnt. Det motsäger att p/q är i lägsta termer. √2 är irrationellt.
Konvergenter från kedjebråket [1; 2, 2, 2, …]. Varje bråk är den bästa rationella approximationen med den nämnaren.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 är algebraiskt (det uppfyller x² = 2) men irrationellt. I trigonometri: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. A-pappersserien (A4, A3, A2…) använder förhållandet 1:√2, så att halveringen av ett ark ger samma proportioner. Beräknat med full precision: 1,41421356237309504880168872…
Varje rätvinklig triangel har en katet lika med den föregående hypotenusan och en katet lika med 1. Hypotenusorna är √1, √2, √3, √4, √5… De flesta är irrationella. √2 (röd) var den första som bevisades irrationell, av pythagoréerna runt 500 f.Kr.
Kvadratroten ur 2 är ungefär 1,41421356237309504880. Det var det första tal som någonsin bevisades irrationellt, av de gamla grekerna runt 500 f.Kr. Det är algebraiskt och uppfyller x² = 2. Det förekommer som diagonallängden i enhetskvadraten, i likvävd stämning för musik (varje halvton multiplicerar frekvensen med 12:e roten ur 2), i A-seriens papperdimensioner (A4 vikt ger A5, samma proportioner) och i Pythagoras sats när kateterna är lika långa.
Kvadratroten ur 2 är irrationellt. Decimalutvecklingen tar aldrig slut och upprepas aldrig. Siffrorna nedan är verifierade mot continued fraction.
FAQ
-
Vad är roten ur 2 och vad är dess värde?
Roten ur 2 (skrivet som √2 eller kvadratroten ur 2) är det positiva tal som multiplicerat med sig självt blir 2. Värdet är ett irrationellt tal som börjar med 1,41421356... och fortsätter i oändlighet utan upprepade mönster. -
Varför var √2 revolutionerande för antikens greker?
Pythagoreerna trodde att alla tal är rationella (kan skrivas p/q). √2 motbevisade detta: diagonalen i en enhetskvadraten är inte rationell. Legenden säger att Hippasus dränktes för att ha avslöjat detta. -
Hur approximerades √2 i forntidens Babylonien?
Babylonierna beräknade √2 ≈ 1 + 24/60 + 51/3600 + 10/216000 ≈ 1,41421296 på en lertavla (YBC 7289) från 1800-1600 f.Kr. Metoden liknar Newton-Raphsons iteration. -
Varför är √2 skalningsfaktorn för ISO-papper?
A4 har proportionerna 1:√2. Viker du ett A4 på mitten får du A5 med exakt samma proportioner. √2:1-förhållandet är det enda som ger detta. Standarden formulerades av Walter Porstmann 1922. -
Är √2 normalt?
Det antas men är inte bevisat. Normalitet för √2 är ett öppet problem precis som för π och e. -
Kan √2 skrivas som ett ändligt kedjebråk?
Nej - ändliga kedjebråk representerar enbart rationella tal. √2 = [1; 2, 2, 2, ...] - ett oändligt periodiskt kedjebråk. Periodicitet är ekvivalent med att vara en kvadratrot ur ett rationellt tal (Lagranges sats).
Pi
Memorera pi, e och 38 matematiska konstanter med metoden för numerisk knappsats
Spela nu - det är gratisInget konto behövs. Fungerar på alla enheter.