√2（2の平方根）とは？
√2 は単位正方形の対角線の長さである。一辺の長さが 1 の正方形を考えると、向かい合う頂点どうしの距離はちょうど √2 になる。これはピタゴラスの定理 1² + 1² = (√2)² による。
紀元前 500 年ごろ、ピタゴラス学派は √2 が p/q（p, q は整数）という分数で表せないことを発見した。背理法による証明は美しい。√2 = p/q を既約分数と仮定すると、2q² = p² だから p² は偶数、したがって p も偶数で p = 2k と書ける。すると 2q² = 4k² なので q² = 2k²、ゆえに q も偶数になる。これは p/q が既約という仮定に反する。したがって √2 は無理数である。
連分数 [1; 2, 2, 2, …] の近似分数。各分数はその分母までで最良の有理近似になる。
| 分数 | 小数 | 誤差 |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 は x² = 2 を満たす代数的数だが、無理数である。三角法では sin(45°) = cos(45°) = 1/√2。A 判用紙（A4、A3、A2…）は 1:√2 の比を使うので、半分に折っても同じ比率が保たれる。値の冒頭は 1.41421356237309504880168872…
各直角三角形は、一方の辺が前の斜辺、もう一方が 1 である。斜辺の長さは √1、√2、√3、√4、√5… と続く。その大半は無理数である。√2（赤）は、ピタゴラス学派によって初めて無理数だと証明された。
2 の平方根は約 1.41421356237309504880 である。古代ギリシャ人によって紀元前 500 年ごろに無理数であることが初めて証明された数である。x² = 2 を満たす代数的数でもある。単位正方形の対角線の長さとして現れ、平均律の音楽（半音ごとに周波数が 2 の 12 乗根倍になる）、A 判用紙の比率、直角二等辺三角形のピタゴラスの定理などに現れる。
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the continued fraction.
FAQ
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√2 が無理数であることを証明したのは誰ですか？
ピタゴラス学派、おそらくメタポントゥムのヒッパソスが紀元前500–450年頃に証明しました。すべての数は整数の比であるという哲学に反するこの発見は衝撃的でした。伝説では、ヒッパソスは証明を明かした罰で海に沈められたとされています。 -
√2 の無理性はどのように証明されましたか？
背理法によります。√2 = p/q（既約分数）と仮定します。すると p² = 2q² となり、p は偶数です。p = 2m と書くと 4m² = 2q² となり、q² = 2m² なので q も偶数です。両方が偶数なら2の公約数を持ち、既約に矛盾します。 -
古代文明は √2 を知っていましたか？
はい。イェール大学バビロニア・コレクションの粘土板 YBC 7289（紀元前1800–1600年頃）には、小数点以下5桁まで正確な √2 の近似値が記されています。バビロニア人は無理性の正式な証明なしに対角線の長さを計算していました。 -
なぜ A判用紙のサイズに 1:√2 の比が選ばれたのですか？
ドイツのエンジニア、ヴァルター・ポルストマンが1922年に ISO 216 規格を整備しました。重要な着想は、辺の比が 1:√2 の用紙を半分に折ると、同じ比率の用紙ができるということです。これにより A0 から A10 まですべてが一つの規格を共有できます。 -
√2 は数学の他のどこに現れますか？
45-45-90度の直角三角形では、斜辺は常に脚の √2 倍です。単位立方体の面対角線は √2 です。また、連分数 [1;2,2,2,...] として表れ、量子力学の波動関数の正規化にも現れます。