什么是 √2（2 的平方根）？
√2 是单位正方形的对角线长度。把边长为 1 的正方形放在桌上，从一个顶点到对角顶点的距离恰好就是 √2。这正是勾股定理的结果：1² + 1² = (√2)²。
边长为 1 的正方形，其对角线长度就是 √2。
毕达哥拉斯学派大约在公元前 500 年发现，√2 不能写成 p/q 的形式，其中 p 与 q 都是整数。这个反证法非常优雅：假设 √2 = p/q 且 p/q 已约成最简。于是 2q² = p²，所以 p² 是偶数，从而 p 是偶数，设 p = 2k。代回得 2q² = 4k²，因此 q² = 2k²，所以 q 也是偶数。这与 p/q 最简相矛盾，因此 √2 是无理数。
这些是连分数 [1; 2, 2, 2, …] 的渐近分数。每个分数都是在对应分母下对 √2 的最佳有理逼近。
| 分数 | 十进制 | 误差 |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 是代数数（它满足 x² = 2），但它不是有理数。在三角学中，sin(45°) = cos(45°) = 1/√2。A 系列纸张（A4、A3、A2……）使用的正是 1:√2 的比例，因此纸张对折后仍能保持相同的长宽比。高精度数值为：1.41421356237309504880168872…
每个直角三角形的一条直角边等于前一个三角形的斜边，另一条直角边恒为 1，因此斜边依次给出 √1、√2、√3、√4……
2 的平方根约为 1.41421356237309504880。它是已知最早被证明为无理数的数之一，古希腊人大约在公元前 500 年就完成了这一证明。它是代数数，满足 x² = 2。它出现在单位正方形的对角线长度、十二平均律音乐（每个半音把频率乘以 2 的 12 次方根）、A 系列纸张比例，以及两条直角边相等时的勾股定理中。
√2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the 连分数.
FAQ
-
谁证明了 √2 是无理数？
毕达哥拉斯学派，可能是梅塔蓬图姆的 Hippasus，在约公元前500-450年证明了这一点。这一发现令人震惊，因为他们的哲学认为所有数都是整数之比。传说 Hippasus 因泄露了这一证明而被溺死在海中。 -
√2 的无理性是如何证明的？
用反证法。假设 √2 = p/q 为最简分数。则 p^2 = 2q^2，所以 p 是偶数··令 p = 2m。则 4m^2 = 2q^2，所以 q^2 = 2m^2，即 q 也是偶数。但如果两者都是偶数，它们有公因子2，与最简分数矛盾。 -
古代文明知道 √2 吗？
是的。耶鲁巴比伦文物收藏中的 YBC 7289 泥板，年代约为公元前1800-1600年，展示了精确到小数点后五位的 √2 近似值。巴比伦人在没有任何无理性正式证明的情况下就计算了对角线长度。 -
为什么 A 系列纸张尺寸选择了 1:√2 的比例？
德国工程师 Walter Porstmann 于1922年制定了 ISO 216 标准。关键发现：如果纸张的边长比为 1:√2，将其对折后会产生具有完全相同比例的纸张。这使得从 A0 到 A10 的所有尺寸都共享同一标准。 -
√2 在数学中还出现在哪里？
在 45-45-90 直角三角形中，斜边始终是直角边的 √2 倍。单位立方体的面对角线为 √2。它以连分数 [1;2,2,2,...] 的形式出现，也出现在量子力学波函数归一化中。