ما هو √2 (الجذر التربيعي لـ 2)؟
√2 هو طول قطر المربع الواحدي. ضع مربعًا طول ضلعه 1 على طاولة. المسافة من زاوية إلى الزاوية المقابلة هي بالضبط √2. هذه هي نظرية فيثاغورس: 1² + 1² = (√2)².
اكتشف الفيثاغوريون حوالي 500 ق.م أن √2 لا يمكن التعبير عنه ككسر p/q حيث p وq أعداد صحيحة. البرهان بالخُلف أنيق: افترض أن √2 = p/q في أبسط صورة. إذن 2q² = p²، فيكون p² زوجيًا، فيكون p زوجيًا، نكتب p = 2k. إذن 2q² = 4k²، فيكون q² = 2k²، فيكون q زوجيًا أيضًا. وهذا يناقض كون p/q في أبسط صورة. إذن √2 عدد غير نسبي.
المقرّبات من الكسر المستمر [1; 2, 2, 2, …]. كل كسر هو أفضل تقريب نسبي بذلك المقام.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 عدد جبري (يحقق x² = 2) لكنه غير نسبي. في حساب المثلثات: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. تستخدم سلسلة ورق A (A4, A3, A2…) النسبة 1:√2، بحيث يعطي طي الورقة إلى النصف نفس النسب. القيمة الدقيقة: 1.41421356237309504880168872…
كل مثلث قائم ساقه الأول يساوي وتر المثلث السابق وساقه الثاني يساوي 1. الأوتار هي √1, √2, √3, √4, √5… معظمها غير نسبي. √2 (الأحمر) كان أول عدد أُثبتت لاعقلانيته، على يد الفيثاغوريين حوالي 500 ق.م.
الجذر التربيعي لـ 2 يساوي تقريبًا 1.41421356237309504880. كان أول عدد أُثبتت لاعقلانيته على الإطلاق، على يد الإغريق القدماء حوالي 500 ق.م. وهو جبري يحقق x² = 2. يظهر كطول قطر المربع الواحدي، وفي ضبط الموسيقى المعتدل (كل نصف نغمة يضرب التردد بالجذر الثاني عشر لـ 2)، وفي أبعاد ورق سلسلة A (طي A4 يعطي A5 بنفس النسب)، وفي نظرية فيثاغورس عندما يكون الساقان متساويين.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the continued fraction.
FAQ
-
من أثبت أن √2 غير نسبي؟
أثبته الفيثاغوريون، ربما هيباسوس الميتابونتي، حوالي 500-450 ق.م. كان الاكتشاف صادمًا لأن فلسفتهم كانت تقول إن جميع الأعداد نسب أعداد صحيحة. تقول الأسطورة إن هيباسوس أُغرق في البحر لإفشائه البرهان. -
كيف أُثبتت لانسبية √2؟
بالخُلف. افترض أن √2 = p/q في أبسط صورة. عندها p² = 2q²، فيكون p زوجيًا — اكتب p = 2m. عندها 4m² = 2q²، فq² = 2m²، مما يعني أن q زوجي أيضًا. لكن إذا كان كلاهما زوجيًا فيتشاركان عامل 2، مما يناقض أبسط صورة. -
هل عرفت الحضارات القديمة عن √2؟
نعم. يُظهر لوح بابلي من مجموعة ييل YBC 7289، يعود إلى حوالي 1800-1600 ق.م.، تقريبًا لـ √2 بدقة خمس منازل عشرية. حسب البابليون أطوال الأقطار دون أي برهان رسمي على اللانسبية. -
لماذا اختيرت نسبة 1:√2 لأحجام ورق A؟
وضع المهندس الألماني فالتر بورستمان معيار ISO 216 رسميًا عام 1922. الفكرة الأساسية: إذا كانت أضلاع الورقة بنسبة 1:√2، فإن طيّها من المنتصف يُنتج ورقة بنفس النسب بالضبط. هذا يسمح لجميع الأحجام من A0 إلى A10 بمشاركة معيار واحد. -
أين يظهر √2 أيضًا في الرياضيات؟
في مثلث قائم بزوايا 45-45-90، يكون الوتر دائمًا √2 مضروبًا في الضلع. قطر وجه مكعب الوحدة هو √2. يظهر ككسر مستمر [1;2,2,2,...] وفي تطبيع دالة الموجة في ميكانيكا الكم.
Pi
احفظ باي وe و38 ثابتًا رياضيًا بطريقة المسار على لوحة الأرقام
العب الآن - مجاناًلا حاجة لحساب. يعمل على أي جهاز.